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[欣赏] 黑暗宇宙里的相对论

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发表于 2012-2-24 15:38:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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通常人们谈起狭义相对论都会提到它的两条基本假设:
1. 相对性原理。
2. 光速不变。
    基本假设2里的光速有两重身份。首先光速是电磁波在真空中的传播速度,这是光速的原始定义;其次这个速度具有“极限速度”地位。后一种含义才是“光速不变”真正要强调的,也就是说第二个假设“光速不变”严格说来应该是“极限速度不变,并且在我们这个世界里这个极限速度是有限的且恰好等于电磁波在真空中的传播速度”。

    由于历史的原因,这两个假设是同时提出的,因此很少人想过这两个假设各自的地位问题。而绝大多数人都把光速(这里指电磁波在真空中的传播速度)不变当成一个对狭义相对论理论而言生死攸关的命题,比如前不久的超光速中微子事件。但事实上“光速不变”假设中重要的是“极限速度不变,并且在我们这个世界里这个极限速度是有限的”,至于这个极限速度到底是多少,留给实验去测量就可以了。电磁波在真空中的传播速度是不是这个极限速度并不是那么重要。原则上可以存在一种世界,在这个世界里没有电磁波,一片漆黑,但是与我们的狭义相对论相当相似的理论仍然可以存在。

    下面就来考察一下,如果不要求第二个假设成立,从第一个假设出发能走多远。我们首先对时空加一些限制:我们的空间是各向同性的欧氏空间,时间也是平直的。为简单起见只考虑一维空间加一维时间。相对性原理说:物理规律在所有惯性系中是相同的。因此两个惯性系S,S'之间的坐标变换必须把匀速运动变换为匀速运动。在惯性系中的匀速运动表现为(x,t)平面上的一条直线,几何上容易证明:把所有直线变换为直线的(可逆)坐标变换必然是线性的。因此同一个时空点在S系的坐标(x,t)及在S'系中的坐标(x',t')满足线性关系
$x'=a_1 x+b_1 t+c_1$
$t'=a_2 x+b_2 t+c_2$
我们可以通过校正空间原点和时间原点的办法把$c_1$,$c_2$变成零,同时可以通过改变坐标轴方向的办法使得$a_1>0$,$b_2>0$。
$x'=a_1 x+b_1 t$
$t'=a_2 x+b_2 t$
当然这里必须存在逆变换
$x=a_1' x'+b_1' t'$
$t=a_2' x'+b_2' t'$
在S中看,S'以速度v沿正x方向匀速运动,也就是说S'系的空间原点x'=0在S系中表现为x=vt,因此
$x'=a_1 x+b_1 t=\gamma(x-vt)$
此外在S'系中看,S系以速度v'(v'=v,否则S和S'就不等效,违反空间各向同性)沿x负向匀速运动,即
$x=\gamma'(x'+vt')$,
下面证明$\gamma'=\gamma$:
现在考虑另外两个参考系T,T',它们分别与S,S'相对静止,空间时间原点也相同,但是空间轴相反,同一个时空点在T,T'中的坐标
为(y=-x,t),(y'=-x',t')
因为在T系中看T'系以速度v沿负y方向匀速运动,和在S'系中看S系完全一样,于是必定有$y'=\gamma'(y+vt)$,但是我们知道y'=-x',y=-x,于是$x'=\gamma'(x-vt)$,与上面的$x'=\gamma(x-vt)$比较即得$\gamma'=\gamma$。
现在我们得到结论:同一个时空点在两个以速度v相对运动的参考系中的坐标(x,t),(x',t')必定满足线性关系
$x'=\gamma(x-vt)$
$x=\gamma(x'-vt')$
从上面两个式子中消去x'就得到
$t'=\gamma(t-\frac{\gamma^2-1}{v\gamma^2} x)=\gamma(t-\frac{v}{C2} x)$
其中的$C2=\frac{v^2\gamma^2}{\gamma^2-1}$是一个可能依赖于v的参数。
$x'=\gamma(x-vt)$
$t'=\gamma(t-\frac{v}{C2} x)$
上面就是满足第一公设的平直时空中两个相对匀速运动的参考系间的一般变换关系。
下面考虑三个参考系,S,S',S'',S''相对S'以速度u匀速运动,于是有
$x''=\gamma'(x'-ut')$
$t''=\gamma'(t'-\frac{u}{C2'} x')$
S'相对S以速度v匀速运动,按照上面的结论有
$x'=\gamma(x-vt)$
$t'=\gamma(t-\frac{v}{C2} x)$
把上面的四个式子联立消去x',t',
得到
$x''=\gamma\gamma'(1+\frac{uv}{C2})(x-\frac{u+v}{1+\frac{uv}{C2}}t)$
$t''=\gamma\gamma'(1+\frac{uv}{C2'})(t-\frac{\frac{u}{C2'}+\frac{v}{C2}}{1+\frac{uv}{C2'}}x)$
由第一公设,在S中看S''也是相对S匀速运动的,因此它们之间的坐标变换必然取如下形式
$x''=\gamma''(x-wt)$
$t''=\gamma''(t-\frac{w}{C2''} x)$
于是必须有C2'=C2,也就是说C2是一个绝对常数,不依赖于速度,当然也不依赖于参考系,由$C2=\frac{v^2\gamma^2}{\gamma^2-1}$得 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{C2}}}$。
考察C2可能的的不同取值:
首先如果$C2=\infty$,$\gamma=1$,那么变换式为
$x'=x-vt$
$t'=t$
这是伽利略变换,实验证明这种变换在高速下不正确。
第二种情况:$C2=-d^2<0$,这时候],$0<\gamma<1$,我们可以定义一个角度$\theta$,使得$\cos\theta=\gamma$,$\sin\theta=\gamma*v/d$,作标度变换$y=dt$,这时候
$x'=\gamma(x-vt)$
$t'=\gamma(t-\frac{v}{C2} x)$
变成
$x'=x\cos\theta-y\sin\theta$
$y'=y\cos\theta+x \sin\theta$
这是一个标准的时空旋转,如果这是正确的方程的话,我们就可以选一系列的相互之间以相等的很小的速度匀速运动的参考系,最后一个参考系和第一个参考系之间的变换就可以满足$\cos\theta<0$,也就是说这两个参考系之间空间反转,时间倒流,但是原来的有限个参考系之间的空间轴和时间轴都是对好正向的,这个荒谬结果表示$C2=-d^2<0$也是不正确的。
现在只剩下第三种可能 $C2=c^2>0$,$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}>1$
$x'=\gamma(x-vt)$
$t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2} x)$
刚好就是洛仑兹变换。
以上说明了满足第一公设的平直时空中相对匀速运动的参考系之间的变换不是伽利略变换就是洛仑兹变换。

注:主要思路来自于Wolfgang Rindler的《相对论精义》,网上有扫描版。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2012-2-24 15:51:23 | 显示全部楼层
上面的推导给出结论:满足第一公设的平直时空中相对匀速运动的参考系之间的变换不是伽利略变换就是洛仑兹变换,这里并没有涉及到光速的任何知识。已经知道伽利略变换是不正确的,因此只剩下一种可能:洛仑兹变换。洛仑兹变换里面只含有一个普适常数c,它可以从实验中测量到,比方说运动的质点质量变大,运动的时钟变慢等等。这些实验都已经做了无数次了,得到的c值都以很高的精度等于真空光速。反过来也就是说不可能以所谓的超光速中微子的方式来推翻相对论。需要考察的是基本假设(第一公设、平直时空)中的一个或者两个。
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发表于 2012-2-24 17:21:29 | 显示全部楼层
不是说“超光速中微子”实验有失误吗。
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发表于 2012-5-3 13:34:28 | 显示全部楼层
2# Buffalo
满足第一公设的平直时空中相对匀速运动的参考系之间的变换不是伽利略变换就是洛仑兹变换

这个结论很精彩!
只是这句,
  1. 已经知道伽利略变换是不正确的,因此只剩下一种可能:洛仑兹变换。
复制代码
我觉得 来的有点快。
=======================
在大尺度,超高速的条件,我们是否有必要一定要恪守相对性原理?为什么一定要让 物理规律在所有惯性系中是相同的?
=======================
经典物理学的理论其实是非常粗糙的,甚至是经验的,这个有 数学手段不够发达等历史原因,但更主要的还是因为物理学是源自于生活的,它所总结提炼出的各种物理量,物理定理最后又都是服务于生活的,是美的,匀称的,即在我们人的视觉,听觉等各种感官,各种延伸的感官的感受上,是匀称的,等数量级的。而不是那种 极度的不协调,甚至超出感官的承受阈值的类型。

试想,把一个非常匀称的超高精度的美女图片 射影变换 成一个头部压挤成一个点以至于都无法辨认出图片内容的图像来, 将是多么的糟糕!

而如果在这个时候,我们仍然还在假定,假定物理定理 在这种射影变换下 保持不变。那岂不更糟糕了!

在我看来,在这种近乎极端的情况下,我们不应该关注那些超出感官阈值的对象,比如被挤压成一个点的头部,而应该研究我们人可以感受得到的地方,比如长度,颜色等等。

研究天体, 愚认为,天体的质量这个物理量本来就不应该引入,这个虚的,无效的概念归咎于牛顿拼凑出的万有引力公式里的2个质量相乘的形式。我没有否认反平方比关系,我只是从始至终不明白质量相乘的关系是怎么得来的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2012-5-3 14:57:30 | 显示全部楼层
没什么怎么得来的,就是脑袋一拍吧。
其实理论物理就是数学公理化的翻版。基本假设=物理公理,依次“证明”演绎出系列物理解释。当预言的现象和现实矛盾,就修正基本假设。

感官是不可靠的。金银铜铁的熔点都不同,也超出人体承受范围。你可以说不应该关注金属炼制么?
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发表于 2012-5-3 15:07:20 | 显示全部楼层
感官是不可靠的。金银铜铁的熔点都不同,也超出人体承受范围。你可以说不应该关注金属炼制么?


也就几千度而已,只多了一两个数量级,属于 我们人类生活的所接触到的温度的感受范围之内。
要是说10^6 摄氏度,那得考虑考虑了。

我的本意就是 ,人们把源自于狭小的实际生活领域的物理定理进行无限的,永恒的终极推广,这种思维方式的本身是存在问题的。

宇宙有时间的起点吗
宇宙有空间的边界吗
宇宙有智慧的生命吗
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-5-3 17:34:21 | 显示全部楼层
没有推广的尝试何来进步。
另一个感官的例子是电磁波。人只可以感受到可见光波段一点点。没有麦克斯韦的电磁方程,何来今天的无线广播、电视等等。

推广失败不可怕。把牛顿力学推广到巨大质量的太阳-水星进动、或者微观的量子世界发现错误了。修正理论,于是对宇宙认识加深了,人类文明进步了。
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 楼主| 发表于 2012-5-10 18:18:46 | 显示全部楼层
2# Buffalo
研究天体, 愚认为,天体的质量这个物理量本来就不应该引入,这个虚的,无效的概念归咎于牛顿拼凑出的万有引力公式里的2个质量相乘的形式。我没有否认反平方比关系,我只是从始至终不明白质量相乘的关系是怎么得来的。


天体的质量本身是有意义的.虽然非常困难,但是原则上你可以把地球切成有限个小块,每块的质量都有意义,当然地球作为整体的质量也有意义。
牛顿论证过为什么万有引力里面出现质量的相乘项。首先从实际的天文观测归纳出开普勒三定律,从这三条定律可以得到太阳引力引起的行星加速度,它只依赖于行星与太阳的距离,与行星的质量无关,满足平方反比定律,也就是说$a=c/r^2$,根据牛顿第二定律,太阳对质量为m的行星的引力$F=ma=c*m/r^2$。根据牛顿第三定律,行星对太阳的引力的大小$F'=F=c*m/r^2$,但是在引力上太阳除了个头大一点之外和行星并没有本质上的不同(所以叫万有引力),所以质量为M的太阳受到行星的引力应该是$F'=d*M/r^2=d'Mm/r^2=c*m/r^2=c'Mm/r^2=GMm/r^2$

按照爱因斯坦的广义相对论,物理定律就是应该对所有非奇异时空变换(也就是对所有参考系)保持不变。
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发表于 2012-5-10 23:24:12 | 显示全部楼层
但是在引力上太阳除了个头大一点之外和行星并没有本质上的不同(所以叫万有引力),所以质量为M的太阳受到行星的引力应该是

赫赫,平心而论,您觉得这说得过去吗

万有引力的存在性问题 本来就是个观察的,猜测的,后来 引力式子的数学导出更是含糊。牛顿其实很有自知之明的,觉得不太妥帖,搁置了很长时间而不发表,后来经不起其他人的催促才发表,具体细节可以翻阅物理学史方面的资料。

而牛顿后面的爱因斯坦,弄出了个相对论,其思维逻辑方式也同样 很没劲。

多的不扯了,我觉得特斯拉,瑟尔才是大神级的人物,
可惜,可叹啊,这2位神级的人物 至今很少人非常了解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-5-11 00:56:58 | 显示全部楼层
说到平心而论,这还真的算信仰。
wayne的世界观很古典,古代的学者就认为世界不同学科不同领域有不同的法则。如天上的星星和地面的物体物理规律不同,物理(甚至细分下去)、化学、生物都有各自的法则。
但在后来慢慢发现其实生物的新陈代谢是化学,化学其实是电子、原子核的电磁作用、热力学其实是统计力学……,相对论统一宏观力学、电磁学。统一理论的信念才一步步建立起来。

其实抛开大统一理论这个很玄的东西,以实用主义的观点也要采纳奥卡姆剃刀原理。在相同结果的情况下,能一步得到的为什么要区分A状态和B状态。区分AB状态,不单要用两套理论,还要明确AB状态之间的边界和边界状态理论。搞不好要ABC状态……

你可以不相信万有引力,但天上飞的不但有远古就有的天然星体,还有按万有引力设计的地球卫星、火星探测器、金星探测器、太阳探测器、脱离太阳系的旅行者器。至少它们没有一头扎入太阳中。

万有引力怎么来的,有这个东西,我不了解,转个地址评论。
http://www.lunwenfb.com/lunwen/lixue/shuxue/8264_5.html
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