增广蝴蝶定理

hujunhua

如图, ABCD是圆内的一只蝴蝶，EF是圆的一条弦，M是EF的中点。
求证：M是GH的中点↔M是IJ的中点。
（当I、J重合时，退化为著名的蝴蝶定理）

今天用几何画板发现的，还没有证明，也不知道是不是原创，管它的，抢个原创再说。

求证明，方法不限。

mathe

由迪沙格对合定理得知过A,B,C,D四点的二次曲线系（包含特殊情况两条直线）同直线EF的两个交点相互对合
于是我们知道E->F,G->H,I->J是一个对合变换。而对合变换中两对点可以唯一确定这个对合变换（这里是关于M的对称变换）

gxqcn

答: 老题目了, 不是原创!
math_humanbeing 发表于 2012-3-21 21:57

原创与首创是两个不同的概念。

hujunhua

哦，有道理。所谓原创，就是非转帖、非剽切的意思。

是我自己搞混了，怨不得3#楼。居然说不知道自己是不是原创，貌似装糊涂嘛。

hujunhua

mathe那个方法，是最本质和深刻的几何解释，但也是最寡的。事情往往就是如此。我最先想到的方法也是二次曲线系，配合韦达定理，不使用对合等射影几何的概念。

应用射影几何，有更浅近的方法，直接使用交比的透视传递。

wayne

我所能想到的可行的思路只有 二次曲线系，然后韦达定理，判别一次项系数是否为0
再高端的理论俺就不懂了

wayne

哦，有道理。所谓原创，就是非转帖、非剽切的意思。

是我自己搞混了，怨不得3#楼。居然说不知道自己是不是原创，貌似装糊涂嘛。
hujunhua 发表于 2012-3-22 11:19

我觉得老大 不必自谦，自责 。
math_humanbeing 大概对原创不太理解。

原创 就是 Original ，原始的创作，这里面没有 版权的概念的，包括首次的发现，独立的发现。
数学史上有很多同一个定理 不同人不同地域不同时期 重复提出的案例,我们都可以称之为原创。

hujunhua

以M为原点、直线EF为x轴建立坐标系，设圆的方程是Cir(x,y)=0, 直线AB的方程是AB(x,y)=0, 直线CD、AD、BC的方程标签类似。
将AB(x,y)CD(x,y)=0和AD(x,y)BC(x,y)=0看作退化（为一对相交直线）的二次曲线。这三条二次曲线都属于过ABCD四点的二次曲线系，所以是线性相关的，即存在全不为零的常数α, β, γ, 使得
α·Cir(x,y)+ β·AB(x,y)CD(x,y)+ γ·BC(x,y)AD(x,y)=0...................................................................(1)
EF(x轴)与圆交点横坐标满足关于x的二次方程Cir(x,0)=0，由于M(原点)是EF的中点，所以 二次式Cir(x,0)的一次项系数为0
同理，二次式AB(x,0)CD(x,0)的一次项系数为0
于是由恒等式（1）得二次式BC(x,0)AD(x,0)的一次项系数为0，从而M亦是线段IJ的中点。

hujunhua

透视方法
以A为透视中心，直线EF上的四点组（EGJF）与圆上的二次点列（EBDF）形成透视
以C为透视中心，直线EF上的四点组（EIHF）与圆上的二次点列（EBDF）形成透视
所以交比（EGJF）=（EIHF）
以M为中心将EIHF作中心反射，设像为FI'GE, 有（EIHF）=（FI'GE）=（EGI'F）
所以（EGJF）=（EGI'F), 故I'与J重合，即I与J关于M对称。

hujunhua

出处在这里http://bbs.emath.ac.cn/redirect.php?tid=4843&goto=newpost#newpost
问题：已知`x,y`的参数方程\[\begin{equation}\left\{\begin{split}x&=\frac{t^2+1}{(t-1)(t-2)}\\y&=\frac{t+1}{(t-1)(t-2)}\end{split}\right.\end{equation}\]求`x,y`的一般方程。
答案：
解： 由于4个“二次三项式”总是线性相关的，所以成立等式：\[\left\{\begin{align}\tag{eq1}a_1(t^2+1)+b_1(t+1)+c_1(t-1)(t-2)&=d_1(t-1)^2\\\tag{eq2}a_2(t^2+1)+b_2(t+1)+c_2(t-1)(t-2)&=d_2(t-2)^2\end{align}\right.\]这里`a_i,b_i,c_i,d_i`为待定系数。
等式两边同时除以`(t-1)(t-2)`得\[\begin{equation}\left\{\begin{split}a_1x+b_1y+c_1&=d_1\frac{t-1}{t-2}\\a_2x+b_2y+c_2&=d_2\frac{t-2}{t-1}\end{split}\right.\end{equation}\]上述上下两式相乘得\[\begin{equation}(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)=d_1d_2\end{equation}\]可见`x,y`的一般方程是一条双曲线，只需要将待定系数解出来即可得到它。
在`(eq1)`式中取`t=1`得`a_1+b_1=0`, 由于方程为齐次式，不妨取`a_1=1,b_1=-1`,带回`(eq1)`式消去公因子`(t-1)`（必有的!）得\[t+c_1(t-2)=d_1(t-1)\]分别取`t=1,2`可得 `c_1=1,d_1=2`.
类似地，在`(eq2)`式中取`t=2`得`5a_2+3b_2=0`, 不妨取`a_2=3,b_2=-5`,带回`(eq2)`式消去公因子`(t-2)`得\[3t+1+c_2(t-1)=d_2(t-2)\]分别取`t=2,1`可得 `c_2=-7,d_2=-4`.
将解出的系数代入`(3)`式整理得  `3x^2-8xy+5y^2-4x+2y+1=0`.

用通常的消元法也是可行的，有兴趣的不妨试试。