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[原创] 增广蝴蝶定理

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发表于 2012-3-21 19:57:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图, ABCD是圆内的一只蝴蝶,EF是圆的一条弦,M是EF的中点。
求证:M是GH的中点↔M是IJ的中点。
(当I、J重合时,退化为著名的蝴蝶定理)

今天用几何画板发现的,还没有证明,也不知道是不是原创,管它的,抢个原创再说。

求证明,方法不限。

精华
增广蝴蝶定理.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-3-21 20:25:08 | 显示全部楼层
由迪沙格对合定理得知过A,B,C,D四点的二次曲线系(包含特殊情况两条直线)同直线EF的两个交点相互对合
于是我们知道E->F,G->H,I->J是一个对合变换。而对合变换中两对点可以唯一确定这个对合变换(这里是关于M的对称变换)
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发表于 2012-3-21 21:57:36 | 显示全部楼层
答: 老题目了, 不是原创!
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发表于 2012-3-22 08:33:46 | 显示全部楼层
答: 老题目了, 不是原创!
math_humanbeing 发表于 2012-3-21 21:57


原创与首创是两个不同的概念。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2012-3-22 11:19:00 | 显示全部楼层
哦,有道理。所谓原创,就是非转帖、非剽切的意思。

是我自己搞混了,怨不得3#楼。居然说不知道自己是不是原创,貌似装糊涂嘛。
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 楼主| 发表于 2012-3-22 11:35:02 | 显示全部楼层
mathe那个方法,是最本质和深刻的几何解释,但也是最寡的。事情往往就是如此。我最先想到的方法也是二次曲线系,配合韦达定理,不使用对合等射影几何的概念。

应用射影几何,有更浅近的方法,直接使用交比的透视传递。
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发表于 2012-3-22 13:03:27 | 显示全部楼层
我所能想到的可行的思路只有 二次曲线系,然后韦达定理,判别一次项系数是否为0
再高端的理论俺就不懂了
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发表于 2012-3-22 13:08:43 | 显示全部楼层
哦,有道理。所谓原创,就是非转帖、非剽切的意思。

是我自己搞混了,怨不得3#楼。居然说不知道自己是不是原创,貌似装糊涂嘛。
hujunhua 发表于 2012-3-22 11:19

我觉得老大 不必自谦,自责 。
math_humanbeing 大概对原创不太理解。

原创 就是 Original ,原始的创作,这里面没有 版权的概念的,包括首次的发现,独立的发现。
数学史上有很多同一个定理 不同人不同地域不同时期 重复提出的案例,我们都可以称之为原创。
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 楼主| 发表于 2012-3-22 18:49:21 | 显示全部楼层

代数方法(二次曲线系)

以M为原点、直线EF为x轴建立坐标系,设圆的方程是Cir(x,y)=0, 直线AB的方程是AB(x,y)=0, 直线CD、AD、BC的方程标签类似。
将AB(x,y)CD(x,y)=0和AD(x,y)BC(x,y)=0看作退化(为一对相交直线)的二次曲线。这三条二次曲线都属于过ABCD四点的二次曲线系,所以是线性相关的,即存在全不为零的常数α, β, γ, 使得
α·Cir(x,y)+ β·AB(x,y)CD(x,y)+ γ·BC(x,y)AD(x,y)=0...................................................................(1)
EF(x轴)与圆交点横坐标满足关于x的二次方程Cir(x,0)=0,由于M(原点)是EF的中点,所以 二次式Cir(x,0)的一次项系数为0
同理,二次式AB(x,0)CD(x,0)的一次项系数为0
于是由恒等式(1)得二次式BC(x,0)AD(x,0)的一次项系数为0,从而M亦是线段IJ的中点。

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 楼主| 发表于 2012-3-22 19:18:19 | 显示全部楼层
透视方法
以A为透视中心,直线EF上的四点组(EGJF)与圆上的二次点列(EBDF)形成透视
以C为透视中心,直线EF上的四点组(EIHF)与圆上的二次点列(EBDF)形成透视
所以交比(EGJF)=(EIHF)
以M为中心将EIHF作中心反射,设像为FI'GE, 有(EIHF)=(FI'GE)=(EGI'F)
所以(EGJF)=(EGI'F), 故I'与J重合,即I与J关于M对称。

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