增广蝴蝶定理

wayne

11# hujunhua

最简洁的解法总是 直捣本质，爽心悦目！

wayne

用通常的消元法也是可行的，有兴趣的不妨试试。

消元法也不难，x,y的分母是一样的，所以，可以相除相消：
$\frac{x-1}{y}=\frac{3 t-1}{t+1}$--->$\frac{x-1+y}{y}=\frac{4 t}{t+1}$--->$\frac{x-1+y}{4y}=\frac{ t}{t+1}$--->$t= \frac{x-1+y}{3y-x+1}$
解得t,回代到任何一个原方程，化简即可。

直接回代，计算式子会出现重复的模式，导致手工运算量比较大。可以进一步取巧：

t的x,y表达式本质上是原方程的比例组合，
现在将原来的2个方程线性结合起来，去掉分子的高次项：
$x-3y=1 - 4/{(t-1)(t-2)}$
于是最终得到这两个式子
$t= \frac{x-1+y}{3y-x+1}$ (1)  $(t-1)(t-2) =4/{1-x+3y}$ (2)
这下子消去t就好多了。

总的来说，消元法也不难，但需要有投机取巧的工夫，与老大的线性代数法相比而言，完全没有系统性可言。

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由于任意4个二次多项式总是线性相关的，所以成立等式

看似不经意的带过，却是如此之凝练。
(将任意二次多项式变成 关于t^2+1,t+1,(t-1)(t-2) 这三个独立基的线性表达。)

wayne

对于学完线性代数中二次型单元的大二学生，这道题有更直接的方法。
先将参数方程变为齐次坐标式\[\begin{cases}x=t^2+1\\y=t+1\\z=(t-1)(t-2)\end{cases}\tag1\]这个齐次坐标的参数方程容易化成矩阵方式：\[(x,y,z)=(t^2,t,1)\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-3\\1&1&2\end{pmatrix}\]不妨用 `P` 表示左边这个矩阵。
一般方程显然是一个二次射影曲线方程，假定其方程用对称矩阵表示为\[(x,y,z)A(x,y,z)^\tau=0\tag2\]
将`(x,y,z)=(t^2,t,1)P` 代入得\[(t^2,t,1)PAP^\tau(t^2,t,1)^\tau=0\]
参数坐标`(t^2,t,1)`代表的一般方程是`xz=y^2`, 其对称矩阵为\[\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&2&0\\-1&0&0\end{pmatrix}=:B\]即`PAP^\tau=kB`, 故\[A=kP^{-1}BP^{-\tau}\tag3\]
直接用公式可求得\[P^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}5&1&1\\-3&1&3\\-1&-1&1\end{pmatrix}\]代入(3)求得\[A=\frac k4\begin{pmatrix}3&-4&-2\\-4&5&1\\-2&1&1\end{pmatrix}\]取k=4的A代入(2) 展开即得\[3x^2-8xy+5y^2-4x+2y+1=0\]