无理角度

无心人

似乎对

x^n-1的分解里
也是在三因子数105上分解出系数2来的

更多的因子数， 比如四因子可能系数更大

zgg___

分圆多项式的系数的绝对值有可能是任何自然数呢。
比如说n=105，2就出现了；n=385时，3就出现了。

liangbch

3度 倍角的余弦函数，在百度贴吧的一个贴子给出http://tieba.baidu.com/f?kz=232847634

无心人

看来就是x^n-1的分解的某个式子

zgg___

感觉用分圆多项式的方法是没错的。
若$+-a+-sqrt(b)$是某个有理角度的余弦值，说明4次有理系数方程
$x^4-4*a*x^3+(2+4*a^2-4*b)*x^2-4*a*x+1=0$的某个根是某个分圆多项式f的根。
因为分圆多项式在Q中是不可约的，所以这个分圆多项式f的次数小于等于4。
第n个分圆多项式的次数等于n的欧拉函数（即小于n与n或质的数的个数），
所以次数小于等于4的个数是有限的，只有9个，所对应的n为：1、2、3、4、5、6、8、10和12。
这9个数的最小公倍数是120，所以说如果$+-a+-sqrt(b)$是某个有理角度的余弦值，
那么它是3度角的倍数。

zYr

原帖由 mathe 于 2008-5-3 21:44 发表
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别总发隐藏贴，
我还得找茬发个贴子才能看

ftg1029

我比较喜欢无理数。

本因坊算帐

对于原题目，我有个思路：

1）注意到$cos2A=2cos^2A-1$，定义函数$f(x)=2x^2-1$。则有：对于绝对值不超过1的实数T，T可以写成有理角度的余弦的充要条件是，f关于T的迭代序列中，从某一项开始呈现周期性

2）设$T=p+sqrt(3)q$，其中$p,q$都是非0有理数。设p的即约分式表示中，分母所包含的2的方幂为a，q的即约分式中，分母所包含的2的方幂为b。则有，如果a和b不等且都大于0，则f关于T的迭代序列不可能呈现周期性。

证明： $f(T)=f(p+q(sqrt(3))) =2p^2+6q^2-1+4pq(sqrt(3))$
容易看出，$2p^2+6q^2-1$化成的即约分式中，分子不为0，分母的2的方幂为 $c=2(max(a,b))-1$，而4pq的即约分式中，分子不为0，分母的2的方幂为d=$a+b-2$，
可知，$c,d$依然不等而且都大于1，并且$max(c,d)>max(a,b)$。因此题述迭代不可能呈现周期性

2）中对“2的方幂”和“$sqrt(3)$”并没有特别的利用，所以把相应地方换成其它素数的方幂，或者其它素数的方根，证明也是大同小异的，也许结论有推广的可能

hujunhua

奶奶个腿，mathe说些啥，非得回复才能看！

suprman

什么样的多项式