三角形等周定理的一个新颖证明

hujunhua

三角形等周定理：周长一定的诸三角形中，正三角形面积最大。三角形等周定理也可以表示为下述不等式：

$s/p^2<=\sqrt3/9$，（p：三角形的半周长，s：三角形的面积）

当且仅当三角形为正三角形时取等号。

这个定理有各种各样的证明，最经典的是从固定一边长度开始，证明其余两边相等时面积最大。
最简短的证明是利用海伦公式和均值不等式。还有一种直观证明法，如图1
若△ABC中AB >AC, 可以将它分割为两个三角形△ACD和△BCD，
然后重组为凹四边形ADB'C，其周长和面积与△ABC的相等。
记△ADB'的面积为s'半周长为p', 显然, $s'>s, p'<p$, 所以`\D p^2/s<{p'^2}/{s'}`。
可见若有两边不等长，即可通过这种手术得到比率更大的三角形。故等边三角形的比率最大。

a	b
图1

本文下面要给出的是又一种巧妙的直观证明。我们先证明一个引理..........

hujunhua

欢迎跟帖抢先，堵塞下文。

wayne

我想到的就是 最经典的方法。
固定一边长度，其余两边相等时面积最大。

mathematica

无聊,利用三角形面积公式的海伦公式,以及几何平均不等式小于等于算术平均不等式,
很容易证明这个结果!!!!!!!!!!!!!!

wayne

4# mathematica
老大不是说了会有一个新颖的证明吗？

mathe

证明两边不等时面积不是最大就可以有很多很简洁的方法。但是如果有不用这个方法的几何方法，看上去会挺不错的

wayne

这里的自由度为2。
所以 如何处理2个自由度， 能决定方法是否新颖，是否简洁

hujunhua

无聊,利用三角形面积公式的海伦公式,以及几何平均不等式小于等于算术平均不等式，很容易证明这个结果!!!!!!!!!!!!!!mathematica 发表于 2012-6-21 09:26

早知有这么终极的代数方法，还提什么新颖的几何证明。惭愧惭愧！

wayne

8# hujunhua

怎么回事？

love_meimei

想一想等周多边形以正多边形的面积为最大这个问题的证法是有意思的。