三角形等周定理的一个新颖证明

hujunhua

如图2，△ABC称为它的旁切圆O的旁切三角形，∠A称为顶角，BC称为底边。用这些定义和术语可以描述一个定理：
引理（圆的旁切三角形定理）：一个圆的所有顶角相等的旁切三角形皆等周。
这个事实是显然的，△ABC的半周长 p 等于切线AE（或者AF）长。可见对于给定大小的圆，p仅取决于顶角A的大小，与底边BC的位置无关。
如图3，△ABC的面积s=pr, 由于p为常数，故s取决于内径r. 显然，当△ABC的内切圆为曲边三角形AEF的内切圆时为最大，这时AB=AC。再考虑以∠B为顶角的旁切圆和旁切三角形可知，周长一定的三角形中，等边三角形面积最大。

                             图2                                                                                      图3