由方差如何推导数字序列的特征

xhq123

已知[0-99]的5个整数，其总体方差为2。 是否可推导出5个整数是连续整数。如3、2、1、4、5 如是，如何证明。 如不是，请举反例。 第一次发贴，多多指教。

sunwukong

如果5个整数不能相同，则结论成立：5个整数是连续整数 如果可以相同，则不成立，反例： 0 0 0 1 3 假设 5 个整数 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的算术平均数为 $bar s$ ，设 $t_1=s_5-bar s$ $t_2=s_5-bar s$ $t_3=s_5-bar s$ $t_4=s_5-bar s$ $t_5=s_5-bar s$ 则 $t_1$、$t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 的方差与 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 相同，且 $t_1$、$t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 的平均数为0 由方差为2，得 $(t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2)/5=2$ 所以 $t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2=10$ 由此，得 $t_i^2<=10$ 所以 $t_i$ 只可能是 -3,-2,-1,0,1,2,3 如果有某个 $t_i^2$ 为 9，则余下的四个数的平方和只能为 1，所以余下的四个数只能是 0、0、0、$+-1$。 所以，$t_i^2$ 不能为 9 由此得 $t_i$ 的取值为： -2、-1、0、1、2

xhq123

谢谢楼上。但0，0，0，1，3的总体方差不为2呀。

xhq123

谢谢悟空，OK了。

xhq123

不过反例不适用，我没有找到反例。

xhq123

2# sunwukong 论证还是有问题。Ti不一定是整数。

xhq123

继续求严密论证。

sunwukong

考虑不周，2楼的证明是错的。 更正如下 假设 5 个整数 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的算术平均数为$bar s$ ，设 $t_1=5(s_1-bar s)$ $t_2=5(s_2-bar s)$ $t_3=5(s_3-bar s)$ $t_4=5(s_4-bar s)$ $t_5=5(s_5-bar s)$ 则 $t_1$、$t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 这5个数是整数，方差是 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的方差的 $5^2$ 倍，且平均数为 0， 由$s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$的方差为2，得 $(t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2)/5=2*5^2$ 所以 $t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2=250$ 问题转化为： 5个整数 $t_1$、$t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 满足： $t_1+t_2+t_3+t_4+t_5=0$ $t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2=250$ 求所有的解

wayne

这5个数是连续整数. ================== 由于平均数对总体方差不产生影响,我们不妨直接假定平均数为0,于是 5个数平方和就是10了.

5个整数 $t_1$、$t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 满足： $t_1+t_2+t_3+t_4+t_5=0$ $t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2=10$

由于是整数解,所以只需要枚举即可很快得到答案. 当然也可以用程序可以验证.

1. a = t /@ Range[5];a /. List@ToRules@Reduce[Total[a] == 0 && Variance[a] == 5/2, a, Integers]

复制代码

这120个解,其实就是全排列,5!

sunwukong

程序验证

2. // 求出
3. // i1+i2+i3+i4+i5=0
4. // i1^2+i2^2+i3^2+i4^2+i5^2=250
5. // 的所有解
7. int i,i1,i2,i3,i4,i5;
8. int sum,sum1,sum2,sum3,sum4;
9. int s2,s3,s4,s5;
10. char Syb[2];
11. int flag[2];
13. Syb[0] = '+';
14. Syb[1] = '-';
15. flag[0] = 1;
16. flag[1] = -1;
18. for(i1=0; i1<=7; i1++){
19. sum1 = i1 * i1;
20. for(i2=i1; i2<=7; i2++){
21. s2 = i2 * i2;
22. if(sum1 + s2 * 4 > 250) break;
23. sum2 = sum1 + s2;
24. for(i3=i2; i3<=9; i3++){
25. s3 = i3 * i3;
26. if(sum2 + s3 * 3 > 250) break;
27. sum3 = sum2 + s3;
28. for(i4=i3; i4<=11; i4++){
29. s4 = i4 * i4;
30. if(sum3 + s4 * 2 > 250) break;
31. s5 = 250 - sum3 - s4;
32. i5 = sqrt(s5);
33. if(i5 * i5 == s5){
34. // i1 保持为正，轮换 i2 i3 i4 i5 的符号，让其和为 0，
35. for (i=0; i<0b10000; i++){
36. sum = i1;
37. sum += flag[i>>3&0x1] * i2;
38. sum += flag[i>>2&0x1] * i3;
39. sum += flag[i>>1&0x1] * i4;
40. sum += flag[i&0x1] * i5;
41. if ( sum == 0 ){
42. cout << Syb[0] << i1
43. << Syb[i>>3&0x1] << i2
44. << Syb[i>>2&0x1] << i3
45. << Syb[i>>1&0x1] << i4
46. << Syb[i&0x1] << i5
47. << endl;
48. break;
49. } // end of if
50. } //end of i
51. } //end of i5
52. } // end of i4
53. } // end of i3
54. } // end of i2
55. } // end of i1

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