由方差如何推导数字序列的特征

sunwukong

程序验证

1. 
   
2. for (i1=-15; i1<=0; i1++)
   
3.     for(i2=i1; i2<=12; i2++)
   
4.         for(i3=i2; i3<=13; i3++)
   
5.             for(i4=i3; i4<=14; i4++){
   
6.                 i5 = -i1-i2-i3-i4;
   
7.                 if ( i1*i1 + i2*i2 + i3*i3 + i4*i4 + i5*i5 == 250 )
   
8.                     cout << i1 << ' '
   
9.                          << i2 << ' '
   
10.                          << i3 << ' '
    
11.                          << i4 << ' '
    
12.                          << i5
    
13.                          << endl;
    
14.             }
    

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sunwukong

假设 5 个整数 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的算术平均数为 $bar s$  （$bar s$ 不一定是整数），设

$t_1=5(s_1-bar s)$
$t_2=5(s_2-bar s)$
$t_3=5(s_3-bar s)$
$t_4=5(s_4-bar s)$
$t_5=5(s_5-bar s)$

则 $t_1$、$t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 这 5 个数是整数，方差是 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的方差的 $5^2$ 倍，且平均数为 0，即

$t_1+t_2+t_3+t_4+t_5=0$          (1)式

由 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的方差为 2，得

$(t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2)//5=2xx5^2$

所以

$t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2=250$     (2)式

设
$s_2-s_1=k_2$
$s_3-s_1=k_3$
$s_4-s_1=k_4$
$s_5-s_1=k_5$

则
$t_2-t_1=5*k_2$
$t_3-t_1=5*k_3$
$t_4-t_1=5*k_4$
$t_5-t_1=5*k_5$

代回(1)、(2)式，化简得

$t_1=-(k_2+k_3+k_4+k_5)$
$5(k_2^2+k_3^2+k_4^2+k_5^2-10)=(k_2+k_3+k_4+k_5)^2=t_1^2$

由此得 $t_1$ 是 5 的倍数，

设 $t_1=5*u_1$，则

$5*u_1=5(s_1-bar s)$

所以，$bar s=s_1-u_1$，所以 $bar s$ 是整数，

所以, $t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 也是 5 的倍数

设

$t_1=5*u_1$
$t_2=5*u_2$
$t_3=5*u_3$
$t_4=5*u_4$
$t_5=5*u_5$

代回(1)、(2)式，化简得

$u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=0$
$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2=10$

sunwukong

因为 $u_i^2<=10$，

所以 $u_i^2$ （ $i$ 从1到5）的取值只能是 0、1、4、9  

如果某个 $|u_i|=3$,则 $u_i^2 =9$ ，则余下的四个平方数的和为 1 ，余下的四个数只能是 $0$、$0$、$0$、$+-1$

$+-3+0+0+0+-1!=0$

所以 $u_i^2!=9$

所以 $u_i^2$ （ $i$ 从1到5）的取值只能是 0、1、4。


如果 $u_i^2$ 取 4 的个数少于 2 个

$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2<=4+1+1+1+1<10$

如果  $u_i^2$ 取 4 的个数大于 2 个

$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2>=4+4+4+0+0>10$

所以 $u_i^2$ 取 4 的个数只能是 2 个，那么余下 3 个平方数的和为 2，所以余下的 3 个数只能是 $+-1$、$+-1$、$0$，

所以 $u_i$ 的取值只能是  $+-2$、$+-2$、$+-1$、$+-1$、$0$

如果所有的 $u_i>=0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5=2+2+1+1+0!=0$
如果所有的 $u_i<=0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5=-2-2-1-1+0!=0$
如果有且只有 3 个  $u_i>0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5>=-2+2+1+1+0=2$
如果有且只有 1 个  $u_i>0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5<=2-2-1-1+0=-2$

以上情况 , $u_1+u2+u_3+u_4+u_5!=0$

所以， $u_i>0$  的个数只能是 2 个。

因为
$2+2-1-1+0!=0$
$-2-2+1+1+0!=0$

所以
$u_1+u2+u_3+u_4+u_5=0$
$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2=10$

仅有一组整数解

{$u_1$、$u_2$、$u_3$、$u_4$、$u_5$}={-2、-1、0、1、2}


因为

$5*u_1=5(s_1-bar s)$

所以 $s_1=u_1+bar s$
同理：

$s_2=u_2+bar s$
$s_3=u_3+bar s$
$s_4=u_4+bar s$
$s_5=u_5+bar s$

所以，$s_i$ 的值是 {$bar s-2$、$bar s-1$、$bar s+0$、$bar s+1$、$bar s+2$}