由方差如何推导数字序列的特征

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程序验证

2. for (i1=-15; i1<=0; i1++)
3. for(i2=i1; i2<=12; i2++)
4. for(i3=i2; i3<=13; i3++)
5. for(i4=i3; i4<=14; i4++){
6. i5 = -i1-i2-i3-i4;
7. if ( i1*i1 + i2*i2 + i3*i3 + i4*i4 + i5*i5 == 250 )
8. cout << i1 << ' '
9. << i2 << ' '
10. << i3 << ' '
11. << i4 << ' '
12. << i5
13. << endl;
14. }

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假设 5 个整数 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的算术平均数为 $bar s$ （$bar s$ 不一定是整数），设 $t_1=5(s_1-bar s)$ $t_2=5(s_2-bar s)$ $t_3=5(s_3-bar s)$ $t_4=5(s_4-bar s)$ $t_5=5(s_5-bar s)$ 则 $t_1$、$t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 这 5 个数是整数，方差是 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的方差的 $5^2$ 倍，且平均数为 0，即 $t_1+t_2+t_3+t_4+t_5=0$ (1)式 由 $s_1$、$s_2$、$s_3$、$s_4$、$s_5$ 的方差为 2，得 $(t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2)//5=2xx5^2$ 所以 $t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2+t_5^2=250$ (2)式 设 $s_2-s_1=k_2$ $s_3-s_1=k_3$ $s_4-s_1=k_4$ $s_5-s_1=k_5$ 则 $t_2-t_1=5*k_2$ $t_3-t_1=5*k_3$ $t_4-t_1=5*k_4$ $t_5-t_1=5*k_5$ 代回(1)、(2)式，化简得 $t_1=-(k_2+k_3+k_4+k_5)$ $5(k_2^2+k_3^2+k_4^2+k_5^2-10)=(k_2+k_3+k_4+k_5)^2=t_1^2$ 由此得 $t_1$ 是 5 的倍数， 设 $t_1=5*u_1$，则 $5*u_1=5(s_1-bar s)$ 所以，$bar s=s_1-u_1$，所以 $bar s$ 是整数， 所以, $t_2$、$t_3$、$t_4$、$t_5$ 也是 5 的倍数 设 $t_1=5*u_1$ $t_2=5*u_2$ $t_3=5*u_3$ $t_4=5*u_4$ $t_5=5*u_5$ 代回(1)、(2)式，化简得 $u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=0$ $u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2=10$

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因为 $u_i^2<=10$， 所以 $u_i^2$ （ $i$ 从1到5）的取值只能是 0、1、4、9 如果某个 $|u_i|=3$,则 $u_i^2 =9$ ，则余下的四个平方数的和为 1 ，余下的四个数只能是 $0$、$0$、$0$、$+-1$ $+-3+0+0+0+-1!=0$ 所以 $u_i^2!=9$ 所以 $u_i^2$ （ $i$ 从1到5）的取值只能是 0、1、4。 如果 $u_i^2$ 取 4 的个数少于 2 个 $u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2<=4+1+1+1+1<10$ 如果 $u_i^2$ 取 4 的个数大于 2 个 $u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2>=4+4+4+0+0>10$ 所以 $u_i^2$ 取 4 的个数只能是 2 个，那么余下 3 个平方数的和为 2，所以余下的 3 个数只能是 $+-1$、$+-1$、$0$， 所以 $u_i$ 的取值只能是 $+-2$、$+-2$、$+-1$、$+-1$、$0$ 如果所有的 $u_i>=0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5=2+2+1+1+0!=0$ 如果所有的 $u_i<=0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5=-2-2-1-1+0!=0$ 如果有且只有 3 个 $u_i>0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5>=-2+2+1+1+0=2$ 如果有且只有 1 个 $u_i>0$，则 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5<=2-2-1-1+0=-2$ 以上情况 , $u_1+u2+u_3+u_4+u_5!=0$ 所以， $u_i>0$ 的个数只能是 2 个。 因为 $2+2-1-1+0!=0$ $-2-2+1+1+0!=0$ 所以 $u_1+u2+u_3+u_4+u_5=0$ $u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2=10$ 仅有一组整数解 {$u_1$、$u_2$、$u_3$、$u_4$、$u_5$}={-2、-1、0、1、2} 因为 $5*u_1=5(s_1-bar s)$ 所以 $s_1=u_1+bar s$ 同理： $s_2=u_2+bar s$ $s_3=u_3+bar s$ $s_4=u_4+bar s$ $s_5=u_5+bar s$ 所以，$s_i$ 的值是 {$bar s-2$、$bar s-1$、$bar s+0$、$bar s+1$、$bar s+2$}