将$n$个小球随机放进$n$个盒子里(1)

KeyTo9_Fans

如题，放法如下： ———————————————— 对于每个小球，无论其它小球放在哪里， 它被放进任意一个盒子的概率都是$1/n$。 ———————————————— 于是一个盒子可能有多个小球，也可能没有小球。 我们将装球数最多的盒子所装的小球个数记为$m$， $m$的均值记为$m_a$，方差记为$m_s$。 问题$1$： 给定$n=1,2,3,...$，求$m_a$和$m_s$的值分别是多少。 问题$2$： 求证：$\lim_{n->\infty}m_a/ln(n)=0$。 问题$3$： 求$\lim_{n->\infty}m_a/ln(n)*ln(ln(n))$等于多少？

wayne

问题1： 求方程 $\sum_{i=1}^{m} i*a_i=n$ (a_m>0) 的非负整数解

1. 1 {1}
2. 2 {1, 2}
3. 3 {1, 6, 3}
4. 4 {1, 18, 12, 4}
5. 5 {1, 50, 50, 20, 5}
6. 6 {1, 140, 195, 90, 30, 6}
7. 7 {1, 392, 735, 392, 147, 42, 7}
8. 8 {1, 1106, 2716, 1652, 672, 224, 56, 8}
9. 9 {1, 3138, 9912, 6804, 2970, 1080, 324, 72, 9}
10. 10 {1, 8952, 35850, 27600, 12825, 4950, 1650, 450, 90, 10}

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算得m_a:

2. 1 1
3. 2 5/3
4. 3 11/5
5. 4 89/35
6. 5 178/63
7. 6 706/231
8. 7 2797/858
9. 8 22129/6435
10. 9 43742/12155
11. 10 172870/46189
12. 11 1366223/352716
13. 12 2699500/676039
14. 13 762106/185725
15. 14 14059873/3343050
16. 15 83396903/19389690
17. 16 1319518817/300540195
18. 17 2610502618/583401555
19. 18 939297818/206253075
20. 19 81814263569/17672631900
21. 20 12461952164/2650894785

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是这个结果吗

KeyTo9_Fans

不是。 当$n=1$时，$m_a=1$。 当$n=2$时，$m_a=(1*2+2*2)/4=3/2$。 当$n=3$时，$m_a=(1*6+2*18+3*3)/27=17/9$ 当$n=4$时，$m_a=(1*24+2*180+3*48+4*4)/256=17/8$ 当$n=5$时，$m_a=(1*120+2*2100+3*800+4*100+5*5)/3125=1429/625$ …… 将前$5$项拿去OEIS上查，发现OEIS还没有收录这个数列。 恭喜 数学研发论坛 即将再次向 OEIS 贡献新数列！

wayne

在OEIS上 找到数据了 http://oeis.org/A180281

wayne

3# KeyTo9_Fans 很不幸，我一时迷糊搞混淆了，一个是有区别，一个是无区别。 不过fans也很不幸，OEIS仍然有这数列 http://oeis.org/A019575 有了这个数列就足可以算出期望值和方差

KeyTo9_Fans

很好！问题$1$解决了。 接下来该解决问题$2$和问题$3$了。

wayne

6# KeyTo9_Fans 这个是解析分析， 得要得到m_a的显式表达了。

KeyTo9_Fans

问题$2$已经证出来了 接下来我们看看问题$3$的答案是多少

KeyTo9_Fans

问题$3$也做出来了，答案是$1$ 接下来做做问题$4$吧 问题$4$： 给定$k=1,2,3,...$，求最小的$n$，使得$m_a>=k$。 =========================================================== 发表于 2013-1-14 20:23 | 只看该作者 9.1 # ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- $10#$ wayne $m_a={\ln n}/{\ln \ln n}(1+o(1))$，所以 $\lim_{n->\infty}m_a/{\ln n}=0$， $\lim_{n->\infty}m_a/{\ln n}*\ln \ln n=1$。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

wayne

9# KeyTo9_Fans 进展这么快，能否share一下，