重复取多边形的中点连线趋向椭圆

chyanog

随机画一些点，然后将他们连起来形成新多边形。找到多边形所有边的中点并将这些中点连成一个新的多边形，如此重复下去，最终的图像越来越小且趋向与一个椭圆

chyanog

这个怎么证明趋于椭圆呢？

wayne

2# chyanog
连线有讲究吗，可以随便的连？

zgg___

呵呵，这是因为一些随机数，相邻的数取平均后将得到正弦曲线。

1. s = Table[RandomReal[], {200}]; Do[Print[ListPlot[s]];
   
2. Do[s = (s + Append[Rest[s], First[s]])/2;, {1000}];
   
3. , {10}];

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zgg___

进一步，形如

1. s=IdentityMatrix[n];m=(s+Append[Rest[s],First[s]])/2;

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的矩阵m的本征值恰好是x/2+1/2（其中x是x^n-1=0的n各根）。

hujunhua

Append[Rest[s],First[s]]可以用RotatoLeft[s]搞掂。

chyanog

3# wayne
没讲究的

1. ListAnimate[
   
2. Graphics@{Line@#, Point@#} & /@
   
3.   NestList[(RotateLeft@# + #)/2 &, RandomReal[1, {50, 2}], 500]]

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Partition也较简洁，但是速度慢好多

1. (RotateLeft@# + #) &@{a, b, c, d}/2
   
2. Mean /@ Partition[{a, b, c, d}, 2, 1, 1]

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1. Manipulate[
   
2. ListLinePlot[Nest[(RotateLeft@# + #)/2 &, RandomReal[1, 50], n],
   
3.   PlotMarkers -> Automatic], {n, 1, 10^4, 1}]

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在空间也是类似的

zgg___

恩，尝试了一下几何平均数，貌似结果一致。
这里面貌似有一个问题，就是：设点的数目为n，迭代次数为m，lz的问题中m和n都是趋于无穷，而没有说明m和n中谁更大一些。呵呵。
其实，可以看到，当形成凸多边形之后，每一次迭代都会使多边形的面积减少，这是否意味着结果是一个位于(1/2,1/2)的点呢？呵呵，我想当m比n“大”的时候会是这样子的吧。（不过，由于m和n都是无穷大，所以我这里说的究竟是什么意思我自己也不知道的呢。呵呵。）

zgg___

恩，如果x,y平均的办法是在x,y之间随机取点，那么结果貌似和取算数平均的结果是一致的。

BeerRabbit

在简化的情况下，只考虑单变量随机数组即可，也就是只拿出一个维度来（高维度的仅仅是单维度参数化的表达）。
我考虑了一个较为一般的情况：

“给定一个无穷（随机，可以是周期的）数列a{n}（父数列），每次从第n项开始向后顺次总共选取k项作为参数传递进一个函数F，并将返回值作为另一个新数列b{n}（子数列）的第n项。然后对b{n}进行上面的操作产生c{n}...过程中考察新数列的变化趋势。因为F的选取一般来说是比较特殊的，而且新数列较之父数列可能是收敛的，因此可以在必要的时候根据操作次数对新数列进行增幅操作（实际上这仅仅方便观察而已）。”

针对LZ提供的问题，实际上算数平均、几何平均等的效果都是一致的（至少在收敛态势上这样）。另外，由于初始父数列的选取没有规律，最后弦曲线的收敛水平线也是不固定的，但是可以猜测（确认）由父数列的一些特征决定。