定长线段的滑动

文科混蛋

定长线段在抛物线上滑动，求其扫过的边界方程






一阶近似（是别人滴）：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1909/

wayne

就是求包络线吧
asteroid ：
x(t) = a * cos(t)^3
y(t) = a * sin(t)^3

http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Envel/envelopes.html

文科混蛋

2# wayne


就是求不出啊，只能近似

wayne

3# 文科混蛋
这有一篇关于asteroid 的文章，可以有助了解更多：
http://online.redwoods.cc.ca.us/ ... e/AsteroidPaper.pdf

文科混蛋

4# wayne


星形线我知道……而且也求出来了……我想问的是在抛物线上滑动的时候……

wayne

5# 文科混蛋
麻烦吗， 就按条件来， 求出与坐标轴的2个交点，平方和等于定长平方。 得到一个微分方程。

文科混蛋

6# wayne


但是，线段端点的坐标也有影响，不然就不会这么麻烦，微分方程可以列出，但是非线性，要不也可以解一个五次方程再积分

wayne

7# 文科混蛋
好吧，你要是那样做，表达式肯定是一团乱麻。
take this：
设$dy/dx= tan\theta$  (1)
根据切线方程，得到y轴截距的两种表达：
$y-xtan\theta=Lsin\theta$   (2)
对方程(2)的两边做微分操作，结合(1) ，消去$dy$,很容易得到
$x=-Lcos\theta^3$
回代到(2)，得到 $y=Lsin\theta^3$
这就是参数方程了

文科混蛋

8# wayne


哥啊，星形线我懂……
我想说的是线段在抛物线上滑动的问题，星形线只是借鉴……
呜呜……

wayne

9# 文科混蛋
明天我要坐火车回家了，火车上无聊的时候会帮你算的，道理一样，应该能得到非常简洁的关于倾斜角的参数方程。