符号计算-2013年清华保送生数学题第三题

chyanog

尝试用Mathematica的Eliminate很慢，Solve求解不算慢，但是带入后化简也是太慢了

1. Eliminate[{a b c == -1, a^2/c + b/c^2 == 1,
2. a^2 b + b^2 c + c^2 a == t, a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}, {a, b,
3. c}]

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hujunhua

貌似ab⁵+bc⁵+ca⁵=3. 结果与 t 无关，也就是说不需要引出 t 的那个表达式。

chyanog

2# hujunhua 好眼力！那个条件真的很损

wayne

3# chyanog 其实手工很好计算，已知条件一个是abc=-1,一个是关于c的首项系数为1的二次方程，我们可以把目标式子做关于c的降次运算，很快得到答案的

数学星空

令$a^2/c = (2*t/(1+t^2))^2; b/c^2 = ((1-t^2)/(1+t^2))^2$ 则$lambda_1^2 = ((1+t^2)/(2*t))^2; lambda_2^2 =((1-t^4)/(4*t^2))^2=lambda_1^2*(1-lambda_1^2), a^7 =-1/(lambda_1^2*lambda_2^2)$ 代入得： $a*b^5+b*c^5+c*a^5 = a*(lambda_2^2*a^4)^5+lambda_2^2*a^4*(lambda_1^2*a^2)^5+lambda_1^2*a^2*(a^5)$ $ = a^21*lambda_2^10+lambda_2^2*a^14*lambda_1^10+lambda_1^2*a^7 = -lambda_2^4/lambda_1^6+lambda_1^6/lambda_2^2-1/lambda_2^2$ $ = -lambda_1^4*(1-lambda_1^2)^2*(1/lambda_1^6)+(lambda_1^6-1)/(lambda_1^2*(1-lambda_1^2)) = 3$

hujunhua

先将$a^2/c+b/c^2=1$化成整式： $a^2c+b=c^2$ ……………………………………………………………………………… (1) 移项成为整体降次的形式：$ca^2=-b+c^2$ …………………………………………………………(2) (1)式两边乘以b, 将abc=-1代入整理得：$bc^2=-a+b^2$…………………………………………(3) (3)式两边乘以a, 将abc=-1代入整理得：$ab^2=-c+a^2$…………………………………………(4) 我们看到｛(2),(3),(4)｝是轮换对称的，而目标式$ab^5+bc^5+ca^5$亦是轮换对称的 $ab^5=(-c+a^2)b^3=-cb^3+a^2b^3=-cb^3+ab(-c+a^2)=1+a^3b-b^3c$, 即 $ab^5=1+a^3b-b^3c$………………………………………………………………………………………(5) 轮换得到其它两项 $bc^5=1+b^3c-c^3a $………………………………………………………………………………………(6) $ca^5=1+c^3a-a^3b$………………………………………………………………………………………(7) (5)+(6)+(7)得 $ab^5+bc^5+ca^5=3$ 试了一下wayne所说的写成c^2=ca^2+b形式（c的降次形式），貌似不方便。

wayne

6# hujunhua 还是老大的方法优美简洁，有章可循！ 我那个方法其实跟老大的差不多，只是把轮换的一些做法杂糅在化简过程中，反复用abc=-1,最终能化出结果也是运气和直觉使然！

chyanog

现在过分依赖软件了，没有手算过很久了，后来折腾了一番，找到几个快些的方法，如果把第三个条件去了，Eliminate也很快 ps：用软件也得需要尝试好多种组合，Mathematica的Eliminate确实比Maple的慢，不过GroebnerBasis倒不错，以前都不知道用

2. GroebnerBasis[
3. Numerator@
4. Together[Subtract @@@ {a b c == -1, a^2/c + b/c^2 == 1,
5. a^2 b + b^2 c + c^2 a == t,
6. a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}], {res}, {a, b, c, t}]
8. Reduce[{a b c == -1, a^2/c + b/c^2 == 1, a^2 b + b^2 c + c^2 a == t,
9. a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}, {t}]
11. res /. Solve[{a b c == -1, a^2 + b/c == c, a^2 b + b^2 c + c^2 a == t,
12. a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}, {a, b, c, res}]

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以前的一个圆锥曲线方程组，即使是M9用Eliminate也是极慢，换成GroebnerBasis秒杀

2. Eliminate[{x1^2/a^2 + y1^2/b^2 == 1, x2^2/a^2 + y2^2/b^2 == 1,
3. x1 x2 + y1 y2 == 0, y2/(x2 - t) == k, y1/(x1 - t) == k}, {x1, x2,
4. y1, y2}]
6. GroebnerBasis[
7. Numerator@
8. Together[
9. Subtract @@@ {x1^2/a^2 + y1^2/b^2 == 1, x2^2/a^2 + y2^2/b^2 == 1,
10. x1 x2 + y1 y2 == 0, y2/(x2 - t) == k, y1/(x1 - t) == k}], {k}, {x1, x2, y1, y2}] // Solve[# == 0, k] &

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wayne

1# chyanog 第一题：设$[n/3] =k$ $[{n-3i}/2] =[{k-i}/6]$ 于是左式等于 $\sum_{i=0}^k[{k-i}/6] =\sum_{i=0}^k[i/6] $ 接下来就不麻烦了

wayne

第二题： 抽屉原理吧