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[提问] 符号计算-2013年清华保送生数学题第三题

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发表于 2013-3-11 19:42:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 chyanog 于 2013-3-11 20:44 编辑


尝试用Mathematica的Eliminate很慢,Solve求解不算慢,但是带入后化简也是太慢了
  1. Eliminate[{a b c == -1, a^2/c + b/c^2 == 1,
  2.   a^2 b + b^2 c + c^2 a == t, a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}, {a, b,
  3.   c}]
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-3-12 14:18:45 | 显示全部楼层
貌似ab5+bc5+ca5=3.
结果与 t 无关,也就是说不需要引出 t  的那个表达式。
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 楼主| 发表于 2013-3-12 17:32:29 | 显示全部楼层
2# hujunhua
好眼力!那个条件真的很损
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发表于 2013-3-12 20:01:03 | 显示全部楼层
3# chyanog
其实手工很好计算,已知条件一个是abc=-1,一个是关于c的首项系数为1的二次方程,我们可以把目标式子做关于c的降次运算,很快得到答案的
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发表于 2013-3-12 20:59:52 | 显示全部楼层
令$a^2/c = (2*t/(1+t^2))^2; b/c^2 = ((1-t^2)/(1+t^2))^2$
则$lambda_1^2 = ((1+t^2)/(2*t))^2; lambda_2^2 =((1-t^4)/(4*t^2))^2=lambda_1^2*(1-lambda_1^2), a^7 =-1/(lambda_1^2*lambda_2^2)$
代入得:
$a*b^5+b*c^5+c*a^5 = a*(lambda_2^2*a^4)^5+lambda_2^2*a^4*(lambda_1^2*a^2)^5+lambda_1^2*a^2*(a^5)$
$ = a^21*lambda_2^10+lambda_2^2*a^14*lambda_1^10+lambda_1^2*a^7 = -lambda_2^4/lambda_1^6+lambda_1^6/lambda_2^2-1/lambda_2^2$
$ = -lambda_1^4*(1-lambda_1^2)^2*(1/lambda_1^6)+(lambda_1^6-1)/(lambda_1^2*(1-lambda_1^2)) = 3$
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发表于 2013-3-13 00:36:46 | 显示全部楼层
先将$a^2/c+b/c^2=1$化成整式:
$a^2c+b=c^2$ ……………………………………………………………………………… (1)
移项成为整体降次的形式:$ca^2=-b+c^2$ …………………………………………………………(2)
(1)式两边乘以b, 将abc=-1代入整理得:$bc^2=-a+b^2$…………………………………………(3)
(3)式两边乘以a, 将abc=-1代入整理得:$ab^2=-c+a^2$…………………………………………(4)
我们看到{(2),(3),(4)}是轮换对称的,而目标式$ab^5+bc^5+ca^5$亦是轮换对称的
$ab^5=(-c+a^2)b^3=-cb^3+a^2b^3=-cb^3+ab(-c+a^2)=1+a^3b-b^3c$, 即
$ab^5=1+a^3b-b^3c$………………………………………………………………………………………(5)
轮换得到其它两项
$bc^5=1+b^3c-c^3a $………………………………………………………………………………………(6)
$ca^5=1+c^3a-a^3b$………………………………………………………………………………………(7)
(5)+(6)+(7)得
$ab^5+bc^5+ca^5=3$

试了一下wayne所说的写成c^2=ca^2+b形式(c的降次形式),貌似不方便。

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发表于 2013-3-13 10:44:59 | 显示全部楼层
6# hujunhua
还是老大的方法优美简洁,有章可循!
我那个方法其实跟老大的差不多,只是把轮换的一些做法杂糅在化简过程中,反复用abc=-1,最终能化出结果也是运气和直觉使然!
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 楼主| 发表于 2013-3-13 11:58:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2013-3-13 12:16 编辑

现在过分依赖软件了,没有手算过很久了,后来折腾了一番,找到几个快些的方法,如果把第三个条件去了,Eliminate也很快
ps:用软件也得需要尝试好多种组合,Mathematica的Eliminate确实比Maple的慢,不过GroebnerBasis倒不错,以前都不知道用

  1. GroebnerBasis[
  2. Numerator@
  3.   Together[Subtract @@@ {a b c == -1, a^2/c + b/c^2 == 1,
  4.      a^2 b + b^2 c + c^2 a == t,
  5.      a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}], {res}, {a, b, c, t}]

  6. Reduce[{a b c == -1, a^2/c + b/c^2 == 1, a^2 b + b^2 c + c^2 a == t,
  7.   a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}, {t}]

  8. res /. Solve[{a b c == -1, a^2 + b/c == c, a^2 b + b^2 c + c^2 a == t,
  9.     a b^5 + b c^5 + c a^5 == res}, {a, b, c, res}]
复制代码
以前的一个圆锥曲线方程组,即使是M9用Eliminate也是极慢,换成GroebnerBasis秒杀

  1. Eliminate[{x1^2/a^2 + y1^2/b^2 == 1, x2^2/a^2 + y2^2/b^2 == 1,
  2.   x1 x2 + y1 y2 == 0, y2/(x2 - t) == k, y1/(x1 - t) == k}, {x1, x2,
  3.   y1, y2}]

  4. GroebnerBasis[
  5.   Numerator@
  6.    Together[
  7.     Subtract @@@ {x1^2/a^2 + y1^2/b^2 == 1, x2^2/a^2 + y2^2/b^2 == 1,
  8.       x1 x2 + y1 y2 == 0, y2/(x2 - t) == k,  y1/(x1 - t) == k}], {k}, {x1, x2, y1, y2}] // Solve[# == 0, k] &

复制代码
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发表于 2013-3-13 12:43:14 | 显示全部楼层
1# chyanog
第一题:设$[n/3] =k$
$[{n-3i}/2] =[{k-i}/6]$
于是左式等于 $\sum_{i=0}^k[{k-i}/6] =\sum_{i=0}^k[i/6] $
接下来就不麻烦了
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发表于 2013-3-13 12:49:39 | 显示全部楼层
第二题:  抽屉原理吧
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