搜索下一个边长都是平方数的海伦三角形

mathe

面积和边长都是平方数的三角形称为海伦三角形.
A318575 中给出了所有已知的边长为完全平方的本原（三边长公因子为1）海伦三角形，现在只知道两组
a(1)=32918611718880, 对应三角形三边长为\(1853^2, 4380^2, 4427^2\)
a(2)=284239560530875680, 对应三角形边长为\(11789^2, 68104^2, 68595^2\)
请问能否或如何找到第三组

mathe

如果我们假设三角形三边分别为\(a=l^2,b=m^2,c=n^2\)并且记\(x=l^4,y=m^4,z=n^4\),
那么三角形面积的平方为\(\Delta^2=2xy+2yz+2zx-x^2-y^2-z^2\).
我们还可以吧上面的表达式写成
\(\Delta^2+(x+y-z)^2=4xy\)
这个表明整数\(4xy\)可以表示成两个完全平方数之和。
由于对于一个整数如果因子分解后为\(2^a p_1^{u_1}p_2^{u_2}\cdots p_t^{u_t} q_1^{v_1}q_2^{v_2}\cdots p_s^{v_s}\), 其中\(p_h\)是模4为1的素因子，\(q_h\)为模4为3的素因子
那么由于\(2=(1+i)(1-i)\), 而对于其中每个\(p_h\)，可以写成\(p_h=(a_h+b_h i)(a_h-b_h i)\).
那么上面整数可以写成两个整数平方数之和的充分必要条件所有的\(v_i\)都是偶数，而且所有表达形式可以通过上面这些基本复数表示组合而成。
由于对于我们这里的4xy,所有素数幂的次数都是偶数（对于奇素因子实际次数都是4的倍数），所以必然有解。所以我们可以对于给定的x,y, 通过枚举\(4xy\)所有分解为两个整数平方和的形式的方法来枚举所有可能的x+y-z, 然后由此求出z并且判断z是否为一个整数的4次方来确定是否是一个合法解。

计算过程中，没有可以先预先求出所有模4余1的素数分解为两个整数平方和的形式，然后搜索并且穷举每两个可能的x,y。
我们可以穷举一定范围内的,l,m , 比如如果我们目标是穷举\(l\le m \le n\le N=10^6\), 那么需要时间复杂度估计应该约等于\(O(N^2 \log(N))\). 而现在我这边已经花了10多天（8核），穷举到\(N=3*10^5\)并没有发现新的解。

为此，我们需要估算一下解的密度到底可能有多高。
搜先我们知道对于给定\(l,m, n\le N\)，\(2xy+2yz+2zx-x^2-y^2-z^2\approx O(N^8)\), 而由于 \(\frac{d x^2} {dx}=2x\), 所以我们可以认为，随机选择一个正整数x,它是平方数的概率大概为\(O(\frac1{\sqrt{x}})\),
由此得出这个表达式\(2xy+2yz+2zx-x^2-y^2-z^2\approx O(N^8)\)是完全平方数的概率大概为\(O(\frac1{N^4})\). 但是其中至少一条边为N的情况的数目大概为O(N^2), 所以得到，最终数目大概为\(\int_{N=N_0}^{\infty}O(\frac{N^2}{N^4})dN\)是有限的。
但是这里的估计中，面积结果为\(O(N^8)\)是按最大情况估计的，实际上可能会略大一些。