搜索下一个边长都是平方数的海伦三角形

wayne

是说第二组解 找出来了吗,  那看来比那个人的效率要高很多很多

第二个解用GMP/C++ 程序并行搜索了六个多月得到的,机器配置是12-cluster of Intel Corei7 x990 cpus running at 3.47Ghz., 第一个解在程序启动的时候瞬间返回,但一直跑了27K个小时才得到第二个解. , 电费也不少了

wayne

设面积为$S$, 因为三个角的正弦和余弦都必须是有理数,于是可以有理化为 $x^2=(bc)^2=\left(u+\frac{1}{u}\right)S,y^2=(ac)^2=\left(v+\frac{1}{v}\right)S,z^2=(ab)^2=\frac{\left(u^2+1\right) \left(v^2+1\right)S}{(u+v) (1-u v)}$
也就是 我们要找到有理数$u,v$,使得$x^2:y^2:z^2=u+\frac{1}{u}:v+\frac{1}{v}:\frac{\left(u^2+1\right) \left(v^2+1\right)}{(u+v) (1-u v)}$.换个形式就是 $x^2:y^2:z^2=\frac{1}{v(1+u^2)}:\frac{1}{u(1+v^2)}:\frac{1}{(u+v) (1-u v)}$
也就是$ v(u^2+1)=k a^2,u(v^2+1)=k b^2,(u+v) (1-u v)=k c^2$, 这恐怕是最简单的有理化形式了.

现在我们挖掘 u,v之间的关系,进一步增加约束.因为$\frac{u}{v}=\frac{b^2}{a^2}*\frac{u^2+1}{v^2+1}$,所以, $\frac{u}{v}$即约后,分子分母非平方部分的都是形如$m^2+n^2$的因子.

northwolves

wayne 发表于 2025-7-4 21:43
设面积为$S$, 因为三个角的正弦和余弦都必须是有理数,于是可以有理化为 $x^2=(bc)^2=\left(u+\frac{1}{u}\r ...

您的这个公式可以得出$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{1+\text{uv}}{1-\text{uv}}$

nyy

有趣