无穷级数求解

wutongshu

我做电路设计的时候碰到这样一个数学难题，各位大佬能否给我解答一下？

wutongshu

上面那个等式我试过几组数都成立，但是没有证明过程；

下面那个当φ等于0时，结果可用Psi函数表示，但不知道能否用三角函数表示？

wutongshu

看大家都研究的是一些高难度问题，有没有人能帮我试试求解，在线等呀！

wayne

Mathematica跑一下，换成指数，然后取实部就行。涉及到 Hypergeometric2F1 函数

1. FullSimplify[Sum[Exp[I (2n+1) a Pi]/((2n+1)((2n+1)^2 f^2-1)),{n,1,Infinity}]]

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\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\exp (i \pi  a (2 n+1))}{(2 n+1) \left(f^2 (2 n+1)^2-1\right)} = \frac{1}{4} e^{3 i \pi  a} \left(\frac{2 f \, _2F_1\left(1,\frac{1}{2} \left(3+\frac{1}{f}\right);\frac{1}{2} \left(5+\frac{1}{f}\right);e^{2 i a \pi }\right)}{3 f+1}+\left(e^{2 i \pi  a}\right)^{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{f}-3\right)} B_{e^{2 i a \pi }}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2 f},0\right)\right)+e^{i \pi  a}-\tanh ^{-1}\left(e^{i \pi  a}\right)\]

wutongshu

感谢回复，

之前一直用mathcad，刚试着也用了下Mathematica：考虑到n是从1至∞的，输出结果如下：



不知道这个结果能否进一步简化，还是说同Psi函数一样，非对称点无法简化了；

我试了一下对sin部分进行求解，Mathematica也无法简化成题目中的形式，是不是软件还是不够智能？

wayne

本身 表达式 就很复杂了,  能不能求和都不好说, 如果 有求和结果 那你就要 谢天谢地了.
然后你还挑出奇数项的部分求和,更加奇怪.
如果你还不死心,不甘心,  可以尝试 代入几个具体的值,看看具体的值, 比如代入 $a=1/5,f=2$, 会发现具体的值 是特殊函数表达的. 既然具体的值都无法继续化简, 那么 其代数形式肯定已经是最简洁了.
不知道我这个思维方式 你是否满意.

再画个图,看看sin的部分,

1. exp=ReIm[FullSimplify[Sum[Exp[I (2n-1) a Pi]/((2n-1)((2n-1)^2 f^2-1)),{n,1,Infinity}],Assumptions->a\[Element]Reals&&f>1]];
   
2. Plot3D[exp[[2]],{a,-5,5},{f,1,20},PlotPoints->50,AxesLabel->Automatic,PlotRange->All]

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wutongshu

感谢回复
我试了几组数，题目中的那个sin的表达式确实是完全正确的；似乎是对称点可以进一步简化，最后就变成纯三角函数了；
奇次项是某个波形的级数展开，电路中不可能出现高等函数表达式，类似于需要反过来求该波形函数；以下是用mathcad验证的一些结果：

mathe

已知表达式结果验算会容易很多，比如对于\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n\phi\pi)}{n(n^2F^2-1)}\).
我们记\(x=\frac1F\),于是转化为\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2\sin(n\phi\pi)}{n(n^2-x^2)}\)
显然这个函数是亚纯函数，只有一阶极点\(x=\pm n\), 同右边函数相同。
于是容易计算它在极点\(x=k\)处留数为
\(\lim_{x\to k}(x-k)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2\sin(n\phi\pi)}{n(n^2-x^2)}=\frac{x^2\sin(|k|\phi\pi)}{|k|(-k-x)}\)
我们只要证明这个极限对于右边函数也同样成立，就证明了两个解析函数极点相同，极点处留数也都相同，所以是同一个函数

wutongshu

如果已知结果来反证明确实容易很多，现在cos函数结果未知，取角度为0，倒是可算出一个结果；

结果已经很精简了，但不是初等函数表达式；不知道是否意味着无法进一步求解了：

Jack315

参考 7# 的验证部分……正弦的等式似乎是：
\(\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{\sin(n\cdot\varphi\cdot\pi)}{n(n^2F^2-1)} \cdot \frac{1-\cos(n\cdot\pi)}{2}]=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sin[\frac{\pi\cdot(1-\varphi)}{2F}]\cdot\sin(\frac{\pi\cdot\varphi}{2F})}{\cos(\frac{\pi}{2F})}\)
定义函数：

1. f1[\[CurlyPhi]_, f_, n_] :=  Sin[n \[CurlyPhi] \[Pi]]/(n (n^2 f^2 - 1)) (1 - Cos[n \[Pi]])/2
   
2. fsum[\[CurlyPhi]_, f_] :=  Sum[f1[u, v, n], {n, 1, \[Infinity]}] /. {u -> \[CurlyPhi], v -> f}
   
3. 
   
4. f2[\[CurlyPhi]_, f_] := \[Pi]/2 (Sin[(\[Pi] (1 - \[CurlyPhi]))/(2 f)] Sin[(\[Pi] \[CurlyPhi])/(2 f)])/Cos[\[Pi]/(2 f)]
   

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验证 \(\varphi=0.3\)，\(F=4\) 处的函数值：

1. fsum[0.3, 4]
   
2. f2[0.3, 4]

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\(fsum(0.3,4)=0.0542444-i 5.89806\times10^{-17}\)
\(f2(0.3,4)=0.0542444\)
作图：

1. Plot3D[{fsum[\[CurlyPhi], f], f2[\[CurlyPhi], f]}, {\[CurlyPhi], -2 \[Pi], 2 \[Pi]}, {f, 2, 5}]

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目测两个函数并不处处相等。

有点好奇，电路中的问题具体是啥。