2025x^3+y^3＝2026z^3的正整数解

wayne

今年是2025年, 受到zhihu的一道题的启发,  求$2025x^3+y^3＝2026z^3$的非平凡的正整数解,  除了(1,1,1)

拓展题:
我发现从2026-2027年会非常困难, $2026x^3+y^3＝2027z^3$, 不信的可以试试

northwolves

目测最小正整数解{1,1,1}

nyy

-1,-1,-1

wayne

我先给出2025的一部分解

1. Block[{a=2025,b=1},a x^3+b y^3-(a+b)z^3/.Thread[{x,y,z}->{33915842077552871,136370899554642449,34269308542717424}]]

复制代码

1. {33915842077552871,136370899554642449,34269308542717424}
   
2. {34232402561950785,84981994605552007,34312749509088532}
   
3. {914579701820074895875,2307966504464949552107,916841786569222618007}
   
4. {213018581771578027397088384052757226517,2344926645201889873211087624583054954451,252118643164874245676658408756944228176}
   
5. {21145880741153155604160702828665609665101,117454423950183308730980404372973923212197,21722727888069240791145996260941405454297}
   
6. {5280566863641564302371436890948481150941084533,70034540317280394006837173955741505589511058573,6816472015688310464502689839856958701789295073}
   
7. {20409771879249101066806622428825931765166567455,328691498069555158186263712841808621098916882479,29634610503609840456129334295396642424036782279}
   
8. {115898189682120507714836303087841068993533514790401,648751116629837403728044818225960187350188283668167,119132443098757830260202662175957756873024192090892}
   
9. {119389042778324433502512535873788292031704339631239,114514687547399221916994711785704143942335233318769,119386733722877227293896917388505039413205815951144}
   
10. {144637924582013134940394099910582775954546347128641,1053662237256375888505823710279210673043672705467969,153286498758196984869503195142744351217789158117569}
    
11. {200476304650056962576412161646246168016852414591779,1808075286718981056820401701358490198034616746707253,222201117908493583826434191369078792528755904820028}
    
12. {77997811510859307849138090935148262481989324599458407,561860755820450245001995139071258614672723219393660151,82515194341403806463101771309450634693502690436284751}
    
13. {415341157526000894317361164762443990160615138841710059,432299179116307886297707344825338413275644837417782829,415349873940366986427881867281548493354796003604066704}
    
14. {143069719275241309459882538137004561589636735859451854013699,1297517704788133267542306956517836981235651831204231958150123,158809437133525114602205187111824625637049455918640293728023}
    
15. {772666191927070261291107119204932878749430463226583646102243,10300346709903491399187519426433397359533762040975746813702773,1000156809345553753950728550141166728636632259894359699290148}
    
16. {8873976795520815804345128528202882097936706420897732669756607,174953803895187520727141201681340829736308464967854718544975993,14950447629808766753049208639311538249686521512606686823506068}
    
17. {19735981401470000336212550065245529801383393049945857862712639,78533239256625531143545386863878477579889940727985669775711871,19935303516490010537390915299702941452937025246814459296146271}

复制代码

nyy

我怀疑这个与椭圆曲线有关系

xiaoshuchong

2026不算非常困难。
问题可转为如下椭圆曲线
\begin{eqnarray}
dx^{3}+y^{3}&=&\left(d+1\right)z^{3}\\x&=&v^{2}-12\left(d+1\right)v+72d^{3}+72d^{2}+2ud+4u\\y&=&v^{2}-12d\left(d+1\right)v+72d^{2}+\left(72-4u\right)d-2u\\z&=&v^{2}+12dv-72d\left(d+1\right)^{2}+2ud-2u\\u^{2}&=&v^{3}-432d^{2}\left(1+d\right)^{2}
\end{eqnarray}
当d=2026时，可得到如下较小的正整数解
x=115612480443688998419706851718914789246401731422695210245580282934411643546096414621623;
y=853654410061991474599973182976563218470692427993821771235316809260855574807358960321227;
z=122791931518315298507425255273772066571349288938368602303331391612463001533345950757715;
2026*x^3+y^3-2027*z^3 = 0;

xiaoshuchong

xiaoshuchong 发表于 2025-7-21 15:43
2026不算非常困难。
问题可转为如下椭圆曲线
\begin{eqnarray}

还有一个更小的正整数解：
x=147932423374403831432342119934056865347353062399;
y=1065622536961984450096635308726377423355013497699;
z=156495843480620123031105583658004087871803996299;

wayne

1. {419749808294024,1687751445909151,424122215890725}
   
2. {147932423374403831432342119934056865347353062399,1065622536961984450096635308726377423355013497699,156495843480620123031105583658004087871803996299}
   
3. {115612480443688998419706851718914789246401731422695210245580282934411643546096414621623,853654410061991474599973182976563218470692427993821771235316809260855574807358960321227,122791931518315298507425255273772066571349288938368602303331391612463001533345950757715}
   
4. {12160065878631801309082971542801005830347540982698488497057968002063720449105000263987096,50888808436173142036269807223344751514523410686519762953033915216074055664174093282899331,12302942401524626772415767822998225768128049826041822562045680470501987933915303690746801}
   
5. {14356567611475065436272721122197828515295679304778056779052250938124281167391902282424618098288076,156578566797226004845282352677983114765942666534435503766838677652002083900809072447927899803216249,16928682507699451348165355695946066949406555636157956252924973982387707137987333773094231626427875}
   
6. {302374149493661899596406037635748542359921824529679875710333614452962340330252787163375292093165933772,3365836190176878580180274749133847686048382368441402615797533267112462360442635201192042650834667620317,359454017064010907311342994065946764333207711583380329434809854199651566236527414076433767670642055407}
   
7. {1073032099047040655643001235083440733277055368397276130582909283283412429945683493595320484532628194580697089,1245254894447294247339126543080701072487179194200120954070234360469621247428827126847500186997185408774222961,1073131420682844457989649316871801316602280509947990825095894226331678451123641402740394076054546454644075345}
   
8. {119191933050546479406513688192624667856691455165368230717933523783199143718406465477446909406447942239614851680402096018281345133673,100064542833712568073253982745688873451204886789215934734756881348654948626486883437118237322047829157809145133474256283863397421177,119183929501812127108821051082841508954554145961936852666457664842536672797224633981394155858107620287356033817792155613579026796185}
   
9. {636452957228497140542746698832741805161392115799058305287806678915067054548829891589897537920715046219162838498077545212716624217310161,10367574259089781269826948951674486929242091834540024105728030910628241429571318779518844268993055623219378246577778952703512077625667289,931189795183454202543510637543053695108764908196995184314442459202519671167805179968621008780595637443934748146909357304233895653280105}
   
10. {1123264289581845748805334834916173813230852921397444319939630906053327379367527404152060739426223509760987824415427688148801448234043232235264412514789246901748192001,17917090709632866911858180613826037999518139900944856999422814504412510670926238692094819043329365922829780711453533422187336399441606151070179192291273006911874021401,1620330781349179117260460000712086605228564839970264678241709103989867681013501555924306365399249698519681930907912129018010581837910812574383618530651751848049344201}
    
11. {1853052655968588493508593663981708521882252676761048214580113463614632188931442959894766170798732387880109465942562722675161557172954814542606369738053687119760409886713146215628344,7147604124971960371033648607637402192756562301493863761963590066487028233837387259301712348615568623738908161623661876220956271042266183734830387772333554695559291307266670157841379,1870078642234126686644969000834002876182741897444705866742570475741157680847198255969116082200047376609351669594924251766019953584955969347501458748819021667079071537965818699549649}
    
12. {341395292797328812222794540419902978169662715448939600331163693548953212433947486936505202612644083102522198013262108731435725723557147254313849166091694226369391973899072920147123332304,8650224095570048461648931107633523763299643074106803302035240569403143214634195925318561973230680287946017434088997469514249844566178483516125342372563281639574353333134099871650754766419,710779985532786886632213580639131901930836041773809894329801413615991939393674529438323978165636549118648284951384253008443750299185940701293058152344875683376940220035601887286845855649}
    
13. {24207228274972404250329200071191322480734829155944077682432598824914365115524664033323642376896142745384825711204551906072159183317333618760083348240092075277493352839961722664269846867994684487676521261618057672912845128006300092407291306003823839,170044193695372544756839647585885331640146137836998355726590776991202441117223265447088177915498695162819879576908614050828559214782707607404827928690210986823481660903992508191330020306258195366418046706256804806919310406990304280243252113188172211,25511522628746816881459002232590096862995360524239214977917556330948145441618782236474686597051576538678627604323667583338831627514028681128437968603590832085273811442726313230107491327034601952341043242827517910282441339603677122710794168043399355}
    
14. {22488296679585959919590483833793527007962421361936007820546044216296794811382143749655822538094556255780814584018165843356964573326337334804325268428003845897795440570599821542224266605576572838745935953765257583431923299736795170542424547070539413024,554533141628460141940330137136383988857182240339220459275035984078494734930992264125689837821732540606987609655970555835709270588399442232070840301643877525836190557370286600656702185090135952400066877624042805034378355334582556036382415879808036465151,45707814805382236199584447472006376687883020138020743235016494866728043052881680599988833233510977279307491073152942082065718720196798943894749247928323830924897253774986053766102214455918198277360182929627462074408345897565588157498274650438907603525}
    
15. {119887695730556032242978688332546176709009953925152549247103932573477121166585033084170380190644093058644828258732979503253200554780316240686215094895198806027039215906133376500317480324843060105131820793307844048461009307303279319143846182257362865876327,5991083109113899033892570605511369965817105033034964380801301150861228661694385386299913589124093262851332905974522984235674060475174162853794718334984633633986967824662236996383168739984972508029404538555316700953363709603719720968096009648386229447628323,475939902419489092358707174767466527520253207394062383420454873094656195442285091066688777149481224088541584839595910756575666926952646344911137037348518513192353809843957489674393981157750419331539760220942540823808961698245878121335532701273619547421435}
    

复制代码

xiaoshuchong

d=2026, 对应曲线$$u^{2}=v^{3}-113838758888427$$
rank是2，两个生成元分别是
\begin{eqnarray}
P_{1}&=&\left(4106703,8322227550\right)\\a&=&15934624846369513963572294511015335\\&&33429521203971283371577\\b&=&-6360423053884564689296047635032955\\&&039573620868290121120683982065781407\\&&2393955419434515\\c&=&40449345384163534730769972\\P_{2}&=&\left(\frac{a}{c^{2}},\frac{b}{c^{3}}\right)
\end{eqnarray}

xiaoshuchong

xiaoshuchong 发表于 2025-7-21 16:18
d=2026, 对应曲线$$u^{2}=v^{3}-113838758888427$$
rank是2，两个生成元分别是
\begin{eqnarray}

P1的高度是13.58 ， torsion point的高度是0， 所以这条曲线一定是两个生成元