2025x^3+y^3＝2026z^3的正整数解

xiaoshuchong

找到一个参数解
\begin{eqnarray}
    x&=&d^5&-&8d^4&-&32d^3&-&28d^2&-&10d&-&4&\\y&=&4d^5&+&10d^4&+&28d^3&+&32d^2&+&8d&-&1&\\z&=&d^5&+&13d^4&+&10d^3&-&10d^2&-&13d&-&1&
\end{eqnarray}

xiaoshuchong

xiaoshuchong 发表于 2025-7-21 18:44
找到一个参数解
\begin{eqnarray}
    x&=&d^{5}-8d^{4}-32d^{3}-28d^{2}-10d-4\\y&=&4d^{5}+10d^{4}+28d^{ ...

d=2026时，对应 419749808294024, 1687751445909151, 424122215890725
这应是最小的正整数解

nyy

我需要过程，
你是如何思考如何得到的？
这就很重要

xiaoshuchong

xiaoshuchong 发表于 2025-7-21 16:18
d=2026, 对应曲线$$u^{2}=v^{3}-113838758888427$$
rank是2，两个生成元分别是
\begin{eqnarray}

bsd猜想， 分析秩等于代数秩。 如果能举出反例，那就厉害了。   验证rank是否大于等于2很容易，计算matdet(ellheightmatrix(e,[p1,p2])) = 1738.65， 说明两个点线性无关，曲线rank至少是2

wayne

主要是magma返回的生成元列表 会包括 扰子群的生成元. 然后看到一个生成元是整数,高度疑似扰子群的生成元, 就想当然了/
刚才验证了一下PARI/Gp, PARI/Gp计算的rank也是2.

1. a=2026;b=1;
   
2. E=ellinit([0,-27*a^2*b^2*(a + b)^2/4]);
   
3. (250721.20:32:18)> ellrank(E,1)
   
4. %17 = [2, 2, 0, [[4106703, 8322227550]]]

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我的magma代码

1. SetClassGroupBounds("GRH");
   
2. a:=2026;
   
3. b:=1;
   
4. E := EllipticCurve([0,-27*a^2*b^2*(a + b)^2/4]);
   
5. time rank, gens, sha := MordellWeilShaInformation(E :Effort := 10);
   
6. print "Rank:", rank;
   
7. print "Generators:", gens;
   
8. print "Sha information:", sha;
   

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返回的结果是

1. 
   
2. Using model [ 0, 0, 0, 0, -113838758888427 ]
   
3. Torsion Subgroup is trivial
   
4. The 2-Selmer group has rank 2
   
5. New point of infinite order (x = 4106703)
   
6. After 2-descent:
   
7.     1 <= Rank(E) <= 2
   
8.     Sha(E)[2] <= (Z/2)^1
   
9. (Searched up to height 10000 on the 2-coverings.)
   
10. New point of infinite order (x = 1593462484636951396357229451101533533429521203\
    
11. 971283371577/1636149542007351853070414842976186503226847976880784)
    
12. After 4-descent:
    
13.     2 <= Rank(E) <= 2
    
14.     Sha(E)[4] is trivial
    
15. (Searched up to height 10^5 on the 4-coverings.)
    
16. 
    
17. Time: 4.270
    
18. Rank: [ 2, 2 ]
    
19. Generators: [ (4106703 : -8322227550 : 1),
    
20. (1593462484636951396357229451101533533429521203971283371577/1636149542007351853\
    
21. 070414842976186503226847976880784 : -636042305388456468929604763503295503957362\
    
22. 08682901211206839820657814072393955419434515/6618117792479635904690921613416924\
    
23. 9039568440832223385995613883844083171018048 : 1) ]
    
24. Sha information: [
    
25.     <2, [ 0, 0 ]>,
    
26.     <4, [ 0, 0 ]>
    
27. ]

复制代码

nyy

我需要求解过程

xiaoshuchong

nyy 发表于 2025-7-22 11:48
我需要求解过程

曲线上已知一个有理点(1,1)，可以将其转为标准的Weierstrass形式， 参考https://ctnt-summer.math.uconn.e ... _transformation.pdf

wayne

nyy 发表于 2025-7-22 11:48
我需要求解过程

不是有大模型吗.  不该用大模型的时候你用大模型, 该用大模型的时候,你却 蚌埠了

mathe

对于\(2026x^3+y^3=2027z^3\)
我们可以改记\(X=\frac xz, Y=\frac yz\)
转化为计算\(2026X^3+Y^3=2027\)上的有理点，而且已知曲线上有有理点(X=1,Y=1)
这个点处切线斜率为-2026,
所以切线方程为Y=2027-2026X,代入方程，可以变化为
\((X-1)^2(675X-676)=0\)
由此得到曲线上还有一个点\(X=\frac{676}{675},Y=-\frac{1351}{675}\)
对应原方程上有整数点x=676,y=-1351,z=675
如果我们继续在这个新的点做切线，可以找到正整数解x=419749808294024,y=1687751445909151,z=424122215890725

而将2026改为不同n,对应x=n+2,y=-n*(n+2),z=n-1

xiaoshuchong

补充一个引理的证明。
lemma 1. 对于正整数$d\ge2$，曲线$u^{2}=v^{3}-432d^{2}\left(1+d\right)^{2}$的rank至少为1
证明： 只需证明$P=\left(4d^{2}+4d+4,4\left(d-1\right)\left(d+2\right)\left(2d+1\right)\right)$一定是non-torsion 点。
用反证法，根据Nagell–Lutz定理，如果P是torsion点，那么P的纵坐标y一定被判别式$\Delta=-27\times432^{2}d^{4}\left(1+d\right)^{4}$整除
我们只需证明y不能整除$\Delta$即可证明P是non-torsion点。
首先，我们引入函数f(d)
$$
\begin{eqnarray}
-\frac{\Delta}{y}&=&3^{9}D+\frac{3^{9}\left(455d^{2}+455d+114\right)}{\left(d-1\right)\left(d+2\right)\left(2d+1\right)}\\&=&3^{9}D+f\left(d\right)\\D&=&32d^{5}+80d^{4}+120d^{3}+\\&&100d^{2}+142d+57
\end{eqnarray}
$$
我们证明f(d)是分数，分成三种情况
Case 1. $d\ge4477883$，则0<f(d)<1，因为$f(d)=1$对应的三次方程实根为4477882.000
Case 2. $d=4$, 此时y可以被$\Delta$整除，但我们可以验证$p=\left(84,648\right)$的高度是1.780..., 也就是说这种情况下
   P依然是non-torsion点
Case 3. $2\le d\le4477882,d\ne4$, 计算机可以很快验证这些情况下，f(d)都是分数。

综上，命题得证。

关于Nagell-Lutz定理
https://handwiki.org/wiki/Nagell%E2%80%93Lutz_theorem