(a+b+c)^2=5abc的正整数解

wayne

求$(a+b+c)^2=5abc$的正整数解

mathe

我们不妨假设\(1\le a\le b\le c\)
由于\((a+b+c)^2-5abc=0\)是关于c的二次方程，首项系数为1，常数项为\((a+b)^2\),所以如果有正整数解，必然两个，而且其中一个不超过\(a+b\)
所以我们可以先寻找满足\(1\le a\le b\le c\le a+b\)的解。
由此得到
\(5ab^2\le 5abc=(a+b+c)^2\le 4(a+b)^2\)
这是一个关于b的二次不等式\((5a-4)b^2-8ab-4a^2\le 0\)
可以指导抛物线开口向上，对称轴\(b=\frac{4a}{5a-4}\),在a>1时对称轴<a
所以a>1时b是增函数，我们要求\((5a-4)a^2-8a^2-4a^2\le 0\),得\(a\le 3\)后面就容易了
分别将a=1,2,3代入前面关于a,b不等式，得到\(a=1,b\le 8\)或者\(a=2,3,b\le 3\)
然后依次穷举，得到只有a=1,b=4,c=5;满足\(c\le a+b\)的条件。
所以只有唯一基础解a=1,b=4,c=5。
然后使用基础解，每次将一个分量用韦达定理替换就可以产生更多解

mathe

题目中5abc中参数5应该可以改为任意正整数

hujunhua

a=1解
(4,5),(9,5),(9,20),(49,20), ...
内接于双曲线的阶梯形无穷折线的转折点.

wayne

a,b,c至少有一个是5的倍数，不妨设a是5的倍数，$5 a b c = (a + b + c)^2, a = 5 s, b + c = 5 t,$解得$b=\frac{5 s t\pm\sqrt{-s \left(4 s^2-25 s t^2+8 s t+4 t^2\right)}}{2 s}$,所以$4 s^2 + 8 s t + 4 t^2 - 25 s t^2 == -k^2 s$
于是$s=\frac{1}{8} \left(\pm\sqrt{\left(k^2-25 t^2+8 t\right)^2-64 t^2}-k^2+25 t^2-8 t\right)$,所以可以设$-(k^2 + 8 t - 25 t^2) = 4 m^2 + 4 n^2, 8 t = 8 m n$，最终得到
\[\left\{a\to 5 m^2,b\to \frac{1}{2} \left(5 m n-\sqrt{25 m^2 n^2-4 m^2-8 m n-4 n^2}\right),c\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{25 m^2 n^2-4 m^2-8 m n-4 n^2}+5 m n\right),k\to \sqrt{25 m^2 n^2-4 m^2-8 m n-4 n^2},t\to m n,s\to m^2\right\}\]

我目前没找到反例，发现全是形如$(a,b,c)=(5x^2,y^2,z^2)$的解(不妨设a是5的倍数),满足$5 x^2+y^2+z^2=5 x y z$

wayne

发现如果解表达成$(a,b,c)=(5x^2,y^2,z^2)$，那么x就是 一个数列Markoff spectrum N^(5)(Lambda).， https://oeis.org/A293173，

wayne

这题有意思，没想到 丢番图方程 还有 这种 解的结构

大家都开始图文并茂了。 那我也画个图

1. TreeGraph[Flatten[NestList[Flatten[Table[{p[[2]]->{p[[2,1]],p[[2,3]],(p[[2,1]]+p[[2,3]])^2/p[[2,2]]},p[[2]]->{p[[2,2]],p[[2,3]],(p[[2,2]]+p[[2,3]])^2/p[[2,1]]}},{p,#}],1]&,{0->{1,4,5}},5],1],VertexLabels->"Name"]

复制代码

nyy

无穷多个解，有没有通项公式之类的？

xiaoshuchong

补充一个推广方程的递推公式
$$
\begin{eqnarray}
0&=&\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+t_{1}\left(ab+ac+bc\right)-t_{2}abc\\a_{n+1}&=&\left(t_{2}a_{n}-t_{1}\right)a_{n-1}-t_{1}a_{n}-a_{n-2},n\ge2
\end{eqnarray}
$$
$t_1,t_2=2,5$时即为本题。 以本题为例，前三项设为1,4,5,构成一个正整数数列1,4,5,81,1849,744980,...
不同的初值构成不同数列，像是一条条直线一样交织成整个网络

wayne

wayne 发表于 2025-7-24 18:08
发现如果解表达成$(a,b,c)=(5x^2,y^2,z^2)$，那么x就是 一个数列Markoff spectrum N^(5)(Lambda).， https ...

大家有没有兴趣把这个数列https://oeis.org/A293173 扩充到更多的项，越多越好，不要有遗漏。原数据只有少得可怜的15项，哈哈哈。
我可以迭代3000次，限定300位，稳定的有23603项, 我已经提交了 扩充, 实际上前10000组解只需要 100位数.
https://nestwhile.com/res/OEIS/b293173-300digits.txt