(a+b+c)^2=5abc的正整数解

wayne

本题从数据的特征上 等价于$5 x^2+y^2+z^2=5 x y z$, 其中$(a,b,c)=(5x^2,y^2,z^2)$, (其实也可以证明: 因为基础解是从(1,4,5) 开始通过c->(a+b)^2/c开始衍生,仍然满足平方数的性质,所以所有的解都是平方数)
然后 发现 还有一个对应的数列是 https://oeis.org/A293174 , Markoff spectrum N^(2)(Lambda). 也就是 $2 x^2+y^2+z^2=4 x y z$的解,
OEIS也只给出可怜的9组解,而且还漏解了 $x=169$, 咱们也可以轻轻松松刷出10000组的数据,我已经提交了数据

wayne

mathe 发表于 2025-7-24 16:50
题目中5abc中参数5应该可以改为任意正整数

简单搜了一下, 发现使得$(a+b+c)^2=kabc$有正整数解的$k =\frac{(a+b+c)^2}{abc}$的取值可以是$1,2,3,4,5,6,8,9$ ,但似乎很难再找到其他的值了, 另外 我觉得 不大可能是无穷个. 因为k的表达式是 -1次.

mathe

我们假设\((a+b+c)^2-kabc=0\)有一组正整数解(a,b,c), 那么必然还有一组\((a,b,\frac{(a+b)^2}c)\)
所以我们同样总可以假设存在一组解满足\(1\le a\le b\le c\le a+b\)
于是我们得到
\(kab^2\le kabc=(a+b+c)^2\le 4(a+b)^2\)
由此得到在\(k\ge 17\)时，必然有
\((ka-4)b^2-8ab-4a^2\le 0\)
这个关于b的抛物线开口向上，对称轴\(b=\frac{4a}{ka-4}\le \frac{4a}{17\times1-4}\lt a\)
所以在区间\(b\ge a\)是单调增函数，由此我们必须要求
\((ka-4)a^2-8a^2-4a^2\le 0\),即\(ka\le 16\),同\(a\ge 1,k\ge 17\)矛盾。
由此我们得到\(k\le 16\).
同样对于\(10 \le k\le 16\), 我们可以得到只能a=1, 由此根据不等式\((k-4)b^2-8b-4\le 0\)解得b也只能1，再对每个k因子分解\((2+c)^2-kc=0\)可以得到无解。
所以k只能不超过9

王守恩

A293173——1, 2, 5, 13, 17, 34, 41, 85, 89, 233, 305, 386, 481, 610, 937, 1213, 1597, 1762, 3653, 4181, 5473, 6850, 8077, 8321, 8857, 10946, 21029, 21506, 28657, 40097, 47125, 75025, 75725, 98209, 116881,

1. Flatten@Table[Solve[{5 x (y*z - x) == y^2 + z^2}, {x}, Integers], {y, 123}, {z, 123}]

复制代码

{x -> 1, x -> 1, x -> 1, x -> 2, x -> 2, x -> 5, x -> 5, x -> 13, x -> 13, x -> 34, x -> 34, x -> 89, x -> 1, x -> 1, x -> 1, x -> 17, x -> 1, x -> 2, x -> 1, x -> 41, x -> 2, x -> 85, x -> 2, x -> 5,
x -> 2, x -> 481, x -> 1, x -> 17, x -> 1, x -> 386, x -> 1, x -> 41, x -> 1, x -> 937, x -> 5, x -> 13, x -> 2, x -> 85, x -> 1, x -> 386, x -> 13, x -> 34, x -> 1, x -> 937, x -> 2, x -> 481, x -> 34, x -> 89}
——我还是不知道怎么把 x 去掉。——A293173好像与A000045有联系。

wayne

wayne 发表于 2025-7-26 00:12
简单搜了一下, 发现使得$(a+b+c)^2=kabc$有正整数解的$k =\frac{(a+b+c)^2}{abc}$的取值可以是$1,2,3,4,5 ...

我们来着重探讨一下,$k=7$的情况, 容易得到 $(a+b+c)^2=7abc$存在整数解.比如$[x,y,z]=[1, -7, -36]$,  但不确定 是否存在正整数解.
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首先 因为这个是二次曲线,所以genus=0,存在参数解, 且参数解是$[x,y,z]=[p,-\frac{7 p^2 V^2}{U^2-(7 p-2) U V+V^2},-\frac{p (U+V)^2}{U^2-(7 p-2) U V+V^2}]$,其中$(U,V)=1$
要使得x,y,z都是正整数,需要$U^2-(7 p-2) U V+V^2 <0$, 且$U^2-(7 p-2) U V+V^2 |p$,  设$p=mn,U^2-(7 p-2) U V+V^2=-m$, 也就是$7mnUV-(U+V)^2=n$存在正整数解

mathe

我们先统一处理一下\(k\ge 4, a\ge 2\)时的情况， 同样现有不等式\((ka-4)b^2-8ab-4a^2\le 0\)，关于b二次曲线对称轴\(b=\frac{4a}{ka-4}<=a\)
所以在\(b\ge a\)时是增函数，同样得到\((ka-4)a^2-8a^2-4a^2\le 0\)即\(ka\le 16\).
也就是对于\(k\ge 4, a\ge 2\)时，我们只需要穷举范围\(ka\le 16\), 对于这个范围里面任意一个组合(k,a), 我们代入不等式\((ka-4)b^2-8ab-4a^2\le 0\)可以得到对应的b的范围，然后再次穷举b。
穷举结果好像只有
a=2,b=2,c=4,k=4.
然后a=1时，不等式变为\((k-4)b^2-8b-4\le 0\), 在\(k\ge 5\)时，这个不等式限制了b的范围必然是有限的，我们穷举b在判断c是否有整数解即可。
可以解得符合条件基本解有
a=1,b=4,c=5,k=5
a=1,b=2,c=3,k=6
a=1,b=1,c=2,k=8
a=1,b=1,c=1,k=9
而k=4,a=1,代入原始方程可以得到\((a-b)^2+2b+2c+1=0\), 显然没有正整数解。
由此，\(k\ge 4\)的所有基本解都已经找出。

mathe

k=3时就复杂很多了，首先我们可以判断出\(a\ge 3\)时，b处在二次函数递增区域得到\(ka\le 16\)，所以\(a\le 5\)
所以我们同样可以先穷举k=3而a=5,4,3, 搜索得到基础解a=b=c=3,k=3.
然后我们查看a=2时，有不等式\(2b^2-16b-16\le 0\),得到b\le 8, 搜索得到基础解a=2,b=4,c=6,k=3.
而对于\(a=1,k\le 3\),我们得到\((1+b+c)^2\gt (b+c)^2 \ge 4bc\gt kbc\),所以这种情况无解。

k=2，得到\(a\ge 4\)时必须\(ka\le 16\),得到\(a\le 8 \).
在\(3\le a\le 8\)时b范围有限，可以穷举得到
a=3,b=6,c=9,k=2
a=4,b=4,c=8,k=2
容易计算k=2,a=1,2时方程左边必然大于右边，不能有正整数解。

类似，k=1,可以得到\(a\le 16\), 穷举\(5\le a\le 16\)得到基础解
a=5,b=20,c=25,k=1
a=6,b=12,c=18,k=1
a=8,b=8,c=16,k=1
a=9,b=9,c=9,k=1
同样，由于\((a+b+c)^2\gt (b+c)^2 \ge 4bc\), 所以\(a\le 4\)没有k=1对应的解。
由此我们已经找到所有基础解，其它解都可以通过这些基础解派生。
比较有意思，所有的基础解，要么c=a+b,要么a=b=c.
所以k=1,2,3都有多组基础解，对应的图有多个连通分支。
而k=4,5,6,8,9都只有一组基础解，对应一个连通图。

wayne

mathe 发表于 2025-7-26 20:57
k=3时就复杂很多了，首先我们可以判断出\(a\ge 3\)时，b处在二次函数递增区域得到\(ka\le 16\)，所以\(a\le ...

关于最小解,受到mathe启发,有个不太一样的解法.
如果 $(a + b + c)^2 = k a b c$,有解,且$a!=b!=c$,那么关于a的二次方程的判别式$-4 b - 4 c + b c k$必须为0,不然判别式大于0就不是最小的解,树的上面还有更小的解.
对此,给定k,挨个枚举计算$-4 b - 4 c + k b c=0$, 这里的等式其实暗含了mathe的不等式

1. Monitor[ans=Reap[Do[sol=Solve[-4 b-4 c+k b c ==0&&0<b<c,{b,c},Integers];If[Length[sol]>0,Sow[{k,{b,c,b c k/2-b-c}/.sol}]],{k,100}]],k]

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得到只有$k=1,2,3,5,6$

1. {1,{{5,20,25},{6,12,18}}}
   
2. {2,{{3,6,9}}}
   
3. {3,{{2,4,6}}}
   
4. {5,{{1,4,5}}}
   
5. {6,{{1,2,3}}}
   

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如果$a,b,c$有两个相等,不妨设$a=b$,就有$4 b^2+4 b c+c^2-b^2 c k=0$,这里其实也暗含了mathe的不等式
同样给定k,挨个枚举解得

1. Monitor[ans=Reap[Do[sol=Solve[4 b^2+4 b c+c^2-b^2 c k ==0&&0<b<=c,{b,c},Integers];If[Length[sol]>0,Sow[{k,{b,b,c}/.sol}]],{k,100}]],k]

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得到只有$k=1,2,3,4,8,9$
剔除等价的解.得到

1. {1,{{8,8,16},{9,9,9}}}
   
2. {2,{{4,4,8}}}
   
3. {3,{{3,3,3}}}
   
4. {4,{{2,2,4}}}
   
5. {8,{{1,1,2}}}
   
6. {9,{{1,1,1}}}

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于是合并一下,就跟mathe的完全一样了

1. SortBy[Normal[Merge[{Association[Table[p[[1]]->p[[2]],{p,ans1[[2,1]]}]],Association[Table[p[[1]]->p[[2]],{p,ans2[[2,1]]}]]},Flatten[#,1]&]],First]//Column

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最终就是

1. 1->{{5,20,25},{6,12,18},{8,8,16},{9,9,9}}
   
2. 2->{{3,6,9},{4,4,8}}
   
3. 3->{{2,4,6},{3,3,3}}
   
4. 4->{{2,2,4}}
   
5. 5->{{1,4,5}}
   
6. 6->{{1,2,3}}
   
7. 8->{{1,1,2}}
   
8. 9->{{1,1,1}}

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