函数逼近求最佳 a 值，有人感兴趣吗？

笨笨

已知：

\(\Large\begin{array}{l}
G\left( \lambda  \right) =F( - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},1,{\lambda ^2})\\
F\left( \lambda  \right) = \left( {1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }}} \right)\left( {1 + \left( {\frac{{22}}{{7\pi }} - 1} \right){{\left( {\frac{{2\lambda }}{{1 + \lambda }}} \right)}^a}} \right),0 < \lambda  < 1
\end{array}\)

采用\(F\left( \lambda  \right)\)逼近\(G\left( \lambda  \right)\)求最佳a值

如果用 Mathematica 软件怎么编程？

笨笨

感觉  \(\Large a\)  应该有个极限值，使得2个函数十分接近。

笨笨

\(\Large{G\left( \lambda  \right) = F( - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},1,{\lambda ^2})}\)

\(\Large F\left( {\lambda ,a} \right) = \left( {1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }}} \right)\left( {1 + \left( {\frac{{22}}{{7\pi }} - 1} \right){{\left( {\frac{{2\lambda }}{{1 + \lambda }}} \right)}^a}} \right),0 < \lambda  < 1\)

选择  \(\Large a\)  使得在整个区间 (0,1) 上的最大绝对误差最小。

即：  \(\Large {a^*} = \mathop {\arg \min }\limits_a \left( {{{\max }_{\lambda  \in (0,1)}}\left| {F(\lambda ,a) - G(\lambda )} \right|} \right)\)

用  Mathematica 软件编程如何实现，求得 \(\Large a\) 值。

笨笨

最小化最大误差问题有人会吗？

笨笨

对主贴叙述上的更新：

已知：

\(\Large G\left( \lambda  \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{\left( {\frac{{\left( {2n - 3} \right)!!}}{{\left( {2n} \right)!!}}} \right)}^2}} {\lambda ^{2n}}\)

\(\Large {F\left( {\lambda ,a} \right) = \left( {1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }}} \right)\left( {1 + \left( {\frac{{22}}{{7\pi }} - 1} \right){{\left( {\frac{{2\lambda }}{{1 + \lambda }}} \right)}^a}} \right),0 < \lambda  < 1}\)

采用\({F\left( {\lambda ,a} \right)}\)逼近\(G\left( \lambda  \right)\)求最佳a值

如果用 Mathematica 软件怎么编程？

我们希望：选择 \( a \) 使得在整个区间 (0,1) 上的最大绝对误差最小。

即：

\(\Large a^* = \arg\min_{a} \left( \max_{\lambda \in (0,1)} \left|F(\lambda, a) - G(\lambda)\right| \right)\)

mathe

对于函数\(T(x,a)\)如果我们要求 \( \min_a (\max_x |T(x,a)|)\)
那么我们只需要分析 \( \min_a (\max_x T(x,a)), \min_a (\min_x T(x,a)), \max_a (\max_x T(x,a)), \max_a (\min_x T(x,a))\) 四者之一。
本质上它们都要求先将a看成常数，求T(x,a)的极值，然后再对于上面这个极值情况，选择a, 再取极值。
其中第一步，相当于在边界或其中第一步，相当于在x的边界条件或者约束条件\(\frac{\partial T(x,a) }{\partial x}=0\)下看成a的隐函数(x被消元），求关于a的极值条件。
其中x边界条件，相当于我们分别求函数\(T(0,a)\),\(T(1,a)\)的关于a的极值。
在约束条件\(\frac{\partial T(x,a) }{\partial x}=0\)，求极值，那么使用拉格朗日极值法，可以求
\(S(x,a)=T(x,a)-h\frac{\partial T(x,a) }{\partial x}\)的极值，我们分别让S对x和a求导，得到
\(\begin{cases}\frac{\partial T(x,a)}{\partial x}-h\frac{\partial^2 T(x,a)}{\partial x^2}=0\\ \frac{\partial T(x,a)}{\partial a}-h\frac{\partial^2 T(x,a)}{\partial x\partial a}=0\end{cases}\)
再加上约束条件\(\frac{\partial T(x,a) }{\partial x}=0\)， 我们需要要求
\(\begin{cases}\frac{\partial T(x,a) }{\partial x}=0\\\frac{\partial T(x,a)}{\partial x}-h\frac{\partial^2 T(x,a)}{\partial x^2}=0\\ \frac{\partial T(x,a)}{\partial a}-h\frac{\partial^2 T(x,a)}{\partial x\partial a}=0\end{cases}\)
于是我们解得，要么
\(\begin{cases}\frac{\partial T(x,a)}{\partial x}=0\\\frac{\partial^2 T(x,a)}{\partial x^2}=0\end{cases}\)
要么
\(\begin{cases}\frac{\partial T(x,a)}{\partial x}=0\\ \frac{\partial T(x,a)}{\partial a}=0\end{cases}\)

笨笨

mathe 发表于 2025-8-7 15:55
对于函数\(T(x,a)\)如果我们要求 \( \min_a (\max_x |T(x,a)|)\)
那么我们只需要分析 \( \min_a (\max_x T( ...

请问前辈用Mathematica 软件编程如何实现，求得 𝑎值。

王守恩

\(\D\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{(2 n - 3)!!}{(2 n)!!}\bigg)^2=\frac{4}{\pi}\)

1. Sum[((2 n - 3)!!/(2 n)!!)^2, {n, 0, Infinity}]

复制代码

4/Pi

1. Table[Sum[((2 n - 3)!!/(2 n)!!)^2*((a + 1)/(a + 2))^n, {n, 0, Infinity}], {a, 3}]

复制代码

{Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, 2/3], Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, 3/4], Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, 4/5]}

1. Table[(Sum[(2 n - 3)!!/((2 n)!! k^n), {n, 0, Infinity}])^2, {k, 2, 23}]

复制代码

{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 9/10, 10/11, 11/12, 12/13, 13/14, 14/15, 15/16, 16/17, 17/18, 18/19, 19/20, 20/21, 21/22, 22/23}

1. Table[(Sum[(2 n - 1)!!/((2 n)!! k^n), {n, 0, Infinity}])^2, {k, 2, 25}]

复制代码

{2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6, 8/7, 9/8, 10/9, 11/10, 12/11, 13/12, 14/13, 15/14, 16/15, 17/16, 18/17, 19/18, 20/19, 21/20, 22/21, 23/22, 24/23, 25/24}

1. Table[(Sum[(2 n - 3)!!/((2 n)!! ((k + 1)/k)^n), {n, 0, Infinity}])^2, {k, 29}]

复制代码

{1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18, 1/19, 1/20, 1/21, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25, 1/26, 1/27, 1/28, 1/29, 1/30}

1. Table[(Sum[(2 n - 1)!!/((2 n)!! ((k + 1)/k)^n), {n, 0, Infinity}])^2, {k, 49}]

复制代码

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50}

笨笨

主贴问题已解决：

苦战了几个夜晚，终于锁定最佳 a 值，用Mathematica 编程得到的值与自己先前预测值完美一致！！！

最佳  a=46.4483021270782……

最小化最大误差值为: 0.00001872118423551505……

最优 \(\lambda\) 值为: 0.898055159455627……

笨笨

代码运行时有点卡，不知道怎么加速优化：

1. (*目标函数 G(\[Lambda])*)
   
2. G[\[Lambda]_] := HypergeometricPFQ[{-1/2, -1/2}, {1}, \[Lambda]^2];
   
3. 
   
4. (*逼近函数 F(\[Lambda],a)*)
   
5. F[\[Lambda]_,
   
6.    a_] := (1 + (3 \[Lambda]^2)/(10 +
   
7.         Sqrt[4 - 3 \[Lambda]^2]))*(1 + (22/(7 \[Pi]) -
   
8.         1) (2 \[Lambda]/(1 + \[Lambda]))^a);
   
9. 
   
10. (*定义绝对误差函数*)
    
11. error[\[Lambda]_, a_] := Abs[F[\[Lambda], a] - G[\[Lambda]]];
    
12. 
    
13. (*计算给定 a 值时的最大绝对误差*)
    
14. maxError[a_?NumericQ] :=
    
15.   NMaximize[{error[\[Lambda], a], 0 < \[Lambda] < 1}, \[Lambda]][[1]];
    
16. 
    
17. (*寻找最优 a 值*)
    
18. optimalA =
    
19.   NMinimize[{maxError[a], a > 0}, a,
    
20.    Method -> {"SimulatedAnnealing", "PerturbationScale" -> 3},
    
21.    PrecisionGoal -> 3];
    
22. 
    
23. (*输出最优 a 值*)
    
24. aOpt = a /. optimalA[[2]];
    
25. \[Lambda]Opt = \[Lambda] /.
    
26.    Last[NMaximize[{error[\[Lambda], aOpt],
    
27.       0 < \[Lambda] < 1}, \[Lambda]]];
    
28. Print["最优 a 值为: ", NumberForm[aOpt, 20]];
    
29. Print["最大误差为: ", NumberForm[optimalA[[1]], 20]];
    
30. Print["最优 \[Lambda] 值为: ", NumberForm[\[Lambda]Opt, 20]];
    
31. 
    
32. (*误差图像*)
    
33. Plot[error[\[Lambda], aOpt], {\[Lambda], 0, 1}, PlotRange -> All,
    
34. PlotLabel -> "最大误差 = " <> ToString[NumberForm[optimalA[[1]], 10]]]

复制代码