函数逼近求最佳 a 值，有人感兴趣吗？

笨笨

主贴问题已解决：

苦战了几个夜晚，终于锁定最佳 a 值，用Mathematica 编程得到的值与自己先前预测值完美一致！！！

最佳  a=46.4483021270782……

最小化最大误差值为: 0.00001872118423551505……

最优 \(\lambda\) 值为: 0.898055159455627……

笨笨

代码运行时有点卡，不知道怎么加速优化：

1. (*目标函数 G(\[Lambda])*)
   
2. G[\[Lambda]_] := HypergeometricPFQ[{-1/2, -1/2}, {1}, \[Lambda]^2];
   
3. 
   
4. (*逼近函数 F(\[Lambda],a)*)
   
5. F[\[Lambda]_,
   
6.    a_] := (1 + (3 \[Lambda]^2)/(10 +
   
7.         Sqrt[4 - 3 \[Lambda]^2]))*(1 + (22/(7 \[Pi]) -
   
8.         1) (2 \[Lambda]/(1 + \[Lambda]))^a);
   
9. 
   
10. (*定义绝对误差函数*)
    
11. error[\[Lambda]_, a_] := Abs[F[\[Lambda], a] - G[\[Lambda]]];
    
12. 
    
13. (*计算给定 a 值时的最大绝对误差*)
    
14. maxError[a_?NumericQ] :=
    
15.   NMaximize[{error[\[Lambda], a], 0 < \[Lambda] < 1}, \[Lambda]][[1]];
    
16. 
    
17. (*寻找最优 a 值*)
    
18. optimalA =
    
19.   NMinimize[{maxError[a], a > 0}, a,
    
20.    Method -> {"SimulatedAnnealing", "PerturbationScale" -> 3},
    
21.    PrecisionGoal -> 3];
    
22. 
    
23. (*输出最优 a 值*)
    
24. aOpt = a /. optimalA[[2]];
    
25. \[Lambda]Opt = \[Lambda] /.
    
26.    Last[NMaximize[{error[\[Lambda], aOpt],
    
27.       0 < \[Lambda] < 1}, \[Lambda]]];
    
28. Print["最优 a 值为: ", NumberForm[aOpt, 20]];
    
29. Print["最大误差为: ", NumberForm[optimalA[[1]], 20]];
    
30. Print["最优 \[Lambda] 值为: ", NumberForm[\[Lambda]Opt, 20]];
    
31. 
    
32. (*误差图像*)
    
33. Plot[error[\[Lambda], aOpt], {\[Lambda], 0, 1}, PlotRange -> All,
    
34. PlotLabel -> "最大误差 = " <> ToString[NumberForm[optimalA[[1]], 10]]]

复制代码

王守恩

干扰一下, 文不对题。我来兜售——误差分数——可能管用。譬如

$\pi$ 的误差分数\((\frac{1}{10})^k\)——误差可控——分布合理——详见《pi的误差分数》

1, 5, 7, 64, 106, 113, 113, 24175, 32085, 33102, 99532, 265381, 1360120, 1725033, 18610450, 25510582, 78256779, 340262731, 811528438, ...

$\pi$ 的连分数——落后了——分布不合理——浪费太多——该有的又没有了。

1, 7, 106, 113, 33102, 33215, 66317, 99532, 265381, 364913, 1360120, 1725033, 25510582, 52746197, 78256779, 131002976, 340262731,...