把单位正方形划分成奇数个三角形

mathe

把单位正方形划分成奇数个三角形，面积最大的三角形和面积最小的三角形的差值最小是多少？
比如划分成3个三角形，那么可以取一边中点和对边两个端点连接，分成面积为1/4,1/4,1/2的三个三角形，达到最小差值1/2-1/4=1/4.
那么5个，7个，...,分别是多少呢？
转自:https://www.zhihu.com/question/1958942302849459258

mathe

n=3的场景比较容易证明。由于三个三角形内角之和为\(3\pi\), 而正方形4个内角已经提供了\(2\pi\),所以最多只能再添加一个平角。
所以只有两种情况
i) 取正方形一条边上一个点而对边两个端点连接

ii)做正方形一条对角线并且在其上任取一点和第三个顶点相连。


显然两种情况最大三角形面积都是1/2，而最小三角形面积不大于1/4。

lsr314

Monsky定理：不可能将正方形划分为面积相等的奇数个三角形

王守恩

先有条路。最小差值 k ——慢慢来调正。

n=1。5个三角形。5=1a+2b+2c。{{x -> 0.618034, y -> 0.381966, a -> 0.190983, b -> 0.190983, c -> 0.213525, k -> 0.0225425}},
n=2。7个三角形。7=2a+2b+3c。{{x -> 0.732051, y -> 0.267949, a -> 0.133975, b -> 0.133975, c -> 0.154701, k -> 0.0207259}},
n=3。9个三角形。9=3a+2b+4c。{{x -> 0.791288, y -> 0.208712, a -> 0.104356, b -> 0.104356, c -> 0.119555, k -> 0.0151988}},

Table[NSolve[{1 == x + y, a == x^2/(2 n), b == y/2, n a + 2 b + (n + 1) c == 1, a == b, c - a == k, x > 0}, {x, y, a, b, c, k}], {n, 6}]

正方形边长 = 1 = x + y,   分成 a, b, c 3种三角形。

mathe

5个三角形情况比较凑巧，有两种不同方式同时达到相同的最小值0.02254248593736856

王守恩

先有条路。最小差值 k ——慢慢来调正。——分成 4n + 1 与 4n + 3——2块。

n=1。05个三角形。05=1a+2b+2c。{{{y -> 0.381966, a -> 0.190983, b -> 0.190983, c -> 0.213525, k -> 0.0225425}},
n=2。09个三角形。09=2a+3b+4c。{{y -> 0.219224, a -> 0.109612, b -> 0.109612, c -> 0.112985, k -> 0.00337346}},
n=3。13个三角形。13=3a+4b+6c。{{y -> 0.152873, a -> 0.0764365, b -> 0.0764365, c -> 0.0774908, k -> 0.00105435}},
n=4。17个三角形。17=4a+5b+8c。{{y -> 0.117218, a -> 0.0586089, b -> 0.0586089, c -> 0.059065, k -> 0.000456107}},
n=5。21个三角形。21=5a+6b+10c。{{y -> 0.0950124, a -> 0.0475062, b -> 0.0475062, c -> 0.0477432, k -> 0.00023694}},
n=6。25个三角形。25=6a+7b+12c。{{y -> 0.0798671, a -> 0.0399336,  b -> 0.0399336, c -> 0.040072, k -> 0.000138418}}}

Table[NSolve[{a == (1 - y) (1 - n*y)/(2 n), b == y/2, n*a + (n + 1) b + 2 n*c == 1, a == b, c - a == k, y > 0, c > 0}, {y, a, b, c, k}], {n, 6}]

k是这样一串数。{0.0225425, 0.00337346, 0.00105435, 0.000456107, 0.00023694, 0.000138418, 0.0000877464, 0.000059072, 0.000041645, 0.0000304502, 0.0000229334, 0.0000177002, 0.0000139454, 0.0000111816,
9.10245*10^-6, 7.50838*10^-6, 6.2658*10^-6, 5.28294*10^-6, 4.49534*10^-6, 3.85683*10^-6, 3.33373*10^-6, 2.9011*10^-6, 2.54021*10^-6, 2.23677*10^-6, 1.9798*10^-6, 1.76074*10^-6, 1.57283*10^-6, 1.41074*10^-6}

n=1。07个三角形。07=1a+3b+3c。{{{y -> 0.292893, a -> 0.146447, b -> 0.146447, c -> 0.138071, k -> 0.00837542}},
n=2。11个三角形。11=2a+4b+5c。{{y -> 0.183503, a -> 0.0917517, b -> 0.0917517, c -> 0.0898979, k -> 0.00185376}},
n=3。15个三角形。15=3a+5b+7c。{{y -> 0.133975, a -> 0.0669873, b -> 0.0669873, c -> 0.0663002, k -> 0.000687067}},
n=4。19个三角形。19=4a+6b+9c。{{y -> 0.105573, a -> 0.0527864, b -> 0.0527864, c -> 0.0524596, k -> 0.000326854}},
n=5。23个三角形。23=5a+7b+11c。{{y -> 0.0871291, a -> 0.0435645, b -> 0.0435645, c -> 0.0433841, k -> 0.000180392}},
n=6。27个三角形。27=6a+8b+13c。{{y -> 0.0741799, a -> 0.03709, b -> 0.03709, c -> 0.0369801, k -> 0.000109896}}}

Table[NSolve[{a == (1 - y) (1 - (n + 1) y)/(2 n), b == y/2, n*a + (n + 2) b + (2 n + 1) c == 1, a == b, a - c == k, y > 0, c > 0}, {y, a, b, c, k}], {n, 6}]

k是这样一串数。{0.00837542, 0.00185376, 0.000687067, 0.000326854, 0.000180392, 0.000109896, 0.0000718418, 0.000049516, 0.0000355625, 0.0000263967, 0.000020129, 0.0000156987, 0.0000124789, 0.0000100827,
8.26286*10^-6, 6.85591*10^-6, 5.75111*10^-6, 4.8715*10^-6, 4.16251*10^-6, 3.5847*10^-6, 3.10907*10^-6, 2.714*10^-6, 2.38313*10^-6, 2.10394*10^-6, 1.8667*10^-6, 1.66384*10^-6, 1.48934*10^-6, 1.33841*10^-6}

王守恩

搞晕了！真还找不出比这更小的差值了。

就是同1个“k”——可以变化的模式也不好找。譬如：17个三角形。——有2个。
{{y -> 0.117218, a -> 0.0586089, b -> 0.0586089, c -> 0.059065,  k -> 0.000456107}}
NSolve[{a == (1 - 2 y) (1 - 2 y)/10, b == y/2, 5 a + 4 b + 8 c == 1, a == b, c - a == k, c > 0}, {y, a, b, c, k}] ——正方形分成4块。中间: 8c 。外围: 5a + 2b + 2b。
NSolve[{a == (1 - 1 y) (1 - 4 y)/8,  b == y/2, 4 a + 5 b + 8 c == 1, a == b, c - a == k,  c > 0}, {y, a, b, c, k}] ——正方形分成4块。中间: 8c 。外围: 4a + b + 4b。

王守恩

补充一下。我不会画图。

把正方形ABCD(边长=1)分成4个三角形。其中内部一个三角形是AE(属于BC)F(属于CD)。记BE=y。DF=k(>1的整数)y。

三角形ABE面积=“1”。三角形CEF面积=a。三角形ADF面积=b。三角形AEF面积=c。c=b+a。"奇数"=4n+1: b=a。"奇数"=4n+3: b=a+1。

我们管上面的解法叫模式"1"。——三角形ABE面积=“1”。——这个"1"不能变。——因为这个"1"不能变。——致所有“奇数"的解无法复制完成！

这模式不是"1"的。譬如：17个三角形。——就有模式不是"1"的。

{{y -> 0.117218, a -> 0.0586089, b -> 0.0586089, c -> 0.059065,  k -> 0.000456107}}

NSolve[{a == (1 - 2 y) (1 - 2 y)/10, b == y/2, 5 a + 4 b + 8 c == 1, a == b, c - a == k, c > 0}, {y, a, b, c, k}] ——正方形分成4块。内部: 8c 。外围: 5a + 2b + 2b。——模式不是"1"。

NSolve[{a == (1 - "1"y) (1 - 4 y)/8,  b == y/2, 4 a + 5 b + 8 c == 1, a == b, c - a == k,  c > 0}, {y, a, b, c, k}] ——正方形分成4块。内部: 8c 。外围: 4a +"1"b + 4b。——模式"1"。

这模式不是"1"的。还会有吗？！来一个！！谢谢！！！

王守恩

把 6 楼 4n + 1,  4n + 3 这两串数合并了。还可以有一个很好的通项公式。

{0.0225425, 0.00837542, 0.00337346, 0.00185376, 0.00105435, 0.000687067, 0.000456107, 0.000326854, 0.00023694, 0.000180392, 0.000138418, 0.000109896, 0.0000877464, 0.0000718418, 0.000059072, 0.000049516,
0.000041645, 0.0000355625, 0.0000304502, 0.0000263967, 0.0000229334, 0.000020129, 0.0000177002, 0.0000156987, 0.0000139454, 0.0000124789, 0.0000111816, 0.0000100827, 9.10245*10^-6,  8.26286*10^-6,
7.50838*10^-6, 6.85591*10^-6, 6.2658*10^-6, 5.75111*10^-6, 5.28294*10^-6, 4.8715*10^-6, 4.49534*10^-6, 4.16251*10^-6, 3.85683*10^-6, 3.5847*10^-6, 3.33373*10^-6, 3.10907*10^-6, 2.9011*10^-6, 2.714*10^-6,

1. Table[N[((2 n + 1)*(Sqrt[n^2 + Cos[n*Pi]] - n) - Cos[n*Pi])/(4*n*Ceiling[n/2]*Cos[n*Pi])], {n, 2, 60}]

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参考文献