哪个桶的水先流完？

lsr314

如图，一个桶上宽下窄，一个桶上窄下宽，哪个桶的水先流完？
假设桶的容量和高度不变，如果要桶里的水以最短的时间流完，桶应该设计成什么样的形状？

mathe

显然左边流的快，流掉相同的水的时候，左边水面高度降低的慢，所以对底下龙头压强更大，流速更快

ejsoon

我感覺是一樣快，因為雖然左邊一開始壓強高，但流快了之後水少了，壓強也會降下來。

所以簡單的算總體積除以水龍頭的口徑，即得出流完速度相同。

笨笨

感觉左边的先流完

风云剑

ejsoon 发表于 2025-11-24 16:06
我感覺是一樣快，因為雖然左邊一開始壓強高，但流快了之後水少了，壓強也會降下來。

所以簡單的算總體積除 ...

并不能得出这个结论。
压强只和深度有关，流失同样体积的水后，左边压强是大于右边的。
第二个问题应该加个限制，比如限定桶的最大横截面积，否则可以设计一个喇叭口样的桶，开口超级大。

uk702

ejsoon 发表于 2025-11-24 16:06
我感覺是一樣快，因為雖然左邊一開始壓強高，但流快了之後水少了，壓強也會降下來。

所以簡單的算總體積除 ...

左边的开始的时候压强也不高吧？压强只和水的总重量及下边开口的大小有关，而和高度无关（？）。只要下边的开口一样大，两边的流速应该一样，同样时间流出的水重量两边始终相同，因此，两边总是以同样的速度地流水。

uk702

Kimi 的结论，你认同吗？DeepSeek 的结论却相反。

kastin

这是非稳态小孔流动问题，根据流体力学知识，液面下降到高度 `h(h \gg h_0)` 时的排放时间有如下估计：
\[t_排=-\frac{1}{C_dA_0\sqrt{2g}}\int_{h_0}^h\frac{A(z)}{\sqrt{z}}\dif z\]
其中`C_d`是流量系数(代表实际流量与理论流量之比)，与容器壁厚、孔截面形状、是否倒角等因素有关，`A_0`为出孔截面积，`A(z)`为高度为`z`处的容器横截面积，`h_0`为初始液面高度。

kastin

液体完全排空的时间估计，则应计入空气密度`\rho_{\mathrm g}`和液体密度`\rho_\mathrm{L}`之比：
\[t_排=-\frac{1}{C_dA_0\sqrt{2g}}\int_{h_0}^0\frac{A(z)}{\sqrt{(1-\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_\mathrm{L}})z+\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_\mathrm{L}} h_0}}\dif z\]之所以说是“估计”，是因为全程都默认了容器截面 `A\gg A_0`(排水孔很小)，可以忽略液面下降过程中动能的变化，仅考虑重力作用。

kastin

若进一步考虑液体动能对排水速度的影响，则排水孔水流理论速度 \[v_0=\sqrt{(1-\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_{\mathrm L}})(v^2(h)+2gh)+\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_{\mathrm L}}2gh}\]其中 `v(h)=-\frac{\dif h}{\dif t}`为高度为`h`处的液面瞬时下降速度。考虑到水几乎不可压，则有进出口体积流量相等\[C_dA_0v_0=A(h)\frac{\dif h}{\dif t}\]从而可解出\[t_排=-\frac{1}{C_dA_0\sqrt{2g}}\int_{h_0}^0\frac{\sqrt{A^2(z)-(1-\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_\mathrm{L}})C_d^2A_0^2}}{\sqrt{(1-\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_\mathrm{L}})z+\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_\mathrm{L}} h_0}}\dif z\]一般来说，排水孔截面积`A_0<1`，流量系数`C_d`都是0~1之间的小数，则上式中 `(1-\frac{\rho_{\mathrm g}}{\rho_\mathrm{L}})C_d^2A_0^2 \ll 1`，忽略该项，即得8楼的结果。