求正方形的面积

nyy

可能是两组解吧

mathe

c=(13a+11b)/2
(c-7a)(c-9b)=0 => ab=3/5
so |axb|=4/5
|(c-7a)x(c-9b)|=|34axb|=136/5

mathe

Jack315

正方形边长：\(a\)；底边长：\(2x\)
\(\cos{B}=\frac{6^2+x^2-a^2}{2\cdot6\cdot x}=\frac{13^2+(2x)^2-11^2}{2\cdot13\cdot2x}\)
\(\cos{C}=\frac{2^2+x^2-a^2}{2\cdot2\cdot x}=\frac{11^2+(2x)^2-13^2}{2\cdot11\cdot2x}\)
求方程组得：
\(a=\sqrt{\frac{136}{5}}\)
\(x=\sqrt{\frac{148}{5}}\)
正方形面积：\(s=136/5=27.2\)

补充内容 (2025-12-5 15:53):
各变量参考 5# 的图

Jack315

如图所示：

\(S_{DBF}\) 绕 D 点逆时针旋转 \(90\degree\) 得 \(S_{DGH}\)；\(S_{FCE}\) 绕 E 点顺时针旋转 \(90\degree\) 得 \(S_{HGE}\)；
\(S=S_{\Delta ABC}\)
\(=\frac{(6+7)(9+2)}{2}\sin{A}=\frac{143}{2}\sin{A}\)
\(=\frac{(6+7)(2x)}{2}\sin{B}=13x\sin{B}\)
\(=\frac{(2+9)(2x)}{2}\sin{C}=11x\sin{C}\)
\(S_{\Delta EAD}=\frac{7\cdot9}{2}\sin{A}=\frac{63}{143}S\)
\(S_{\Delta DBF}=\frac{6x}{2}\sin{B}=\frac{3}{13}S\)
\(S_{\Delta FCE}=\frac{2x}{2}\sin{C}=\frac{1}{11}S\)
\(S_{DFEH}=a^2\)
\(=2(S-S_{\Delta EAD}-S_{\Delta DBF}-S_{\Delta FCE})=2(S-\frac{63}{143}S-\frac{3}{13}S-\frac{x}{11}S)=\frac{68}{143}S\)
\(S_{ADHE}=S_{\Delta EAD}-\frac{a^2}{2}=\frac{63}{143}S-\frac{34}{143}S=\frac{29}{143}S\)
\(S_{ADGE}=S_{ADHE}+S_{\Delta DBF}+S_{\Delta FCE}=\frac{29}{143}S+\frac{3}{13}S+\frac{1}{11}S=\frac{75}{143}S\)
\(S_{ADGE}=S_{\Delta ADG}+S_{\Delta AEG}=\frac{6\cdot7}{2}+\frac{2\cdot9}{2}=30\)
\(\frac{75}{143}S=30\rightarrow S=\frac{286}{5}\)
\(S_{DFEH}=a^2=\frac{68}{143}S=\frac{136}{5}\)

Jack315

【托勒密定理】
\(AG=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{2^2+9^2}=\sqrt{85}\)
\(2\cdot7+6\cdot9=\sqrt{85}\cdot\sqrt{2}a\)
\(a=\frac{68}{\sqrt{170}}\rightarrow s=a^2=\frac{136}{5}\)

nyy

Jack315 发表于 2025-12-5 15:52
如图所示：

\(S_{DBF}\) 绕 D 点逆时针旋转 \(90\degree\) 得 \(S_{DGH}\)；\(S_{FCE}\) 绕 E 点顺时针旋 ...

G点是否在EF上，我从图片上看是好像不在

nyy

nyy 发表于 2025-12-7 08:56
G点是否在EF上，我从图片上看是好像不在

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
4. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
5. rule={
   
6.     eq1->(ArcCos@cs[a,x,6]+ArcCos@cs[a,x,2]==90deg),
   
7.     eq2->(ArcCos@cs[6,a,x]+ArcCos@cs[Sqrt[2]*a,7,9]==135deg)
   
8. }
   
9. ContourPlot[{ArcCos@cs[a,x,6]+ArcCos@cs[a,x,2]==90deg,
   
10.              ArcCos@cs[6,a,x]+ArcCos@cs[Sqrt[2]*a,7,9]==135deg},{a,-10,10},{x,-10,10}]
    
11. aa=FindRoot[{eq1,eq2}/.rule,{{a,4.0},{x,4.0}}]
    
12. bb=RootApproximant[{a,x}/.aa]
    

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求解结果
\[\left\{2 \sqrt{\frac{34}{5}},2 \sqrt{\frac{37}{5}}\right\}\]

第一个结果是正方形边长，第二个是三角形边长的一半

nyy

Jack315 发表于 2025-12-5 00:30
正方形边长：\(a\)；底边长：\(2x\)
\(\cos{B}=\frac{6^2+x^2-a^2}{2\cdot6\cdot x}=\frac{13^2+(2x)^2-11^ ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. ans=Solve[{
   
5.     cs[6,x,a]==cs[6+7,2x,9+2],
   
6.     cs[x,2,a]==cs[2x,2+9,6+7]
   
7. },{a,x}]//Simplify
   
8. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   

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用你的办法

求解结果
\[\begin{array}{ll}
a\to -2 \sqrt{\frac{34}{5}} & x\to -2 \sqrt{\frac{37}{5}} \\
a\to -2 \sqrt{\frac{34}{5}} & x\to 2 \sqrt{\frac{37}{5}} \\
a\to 2 \sqrt{\frac{34}{5}} & x\to -2 \sqrt{\frac{37}{5}} \\
a\to 2 \sqrt{\frac{34}{5}} & x\to 2 \sqrt{\frac{37}{5}} \\
\end{array}\]

王守恩

Solve[{13/Sin[c] == 11/Sin[b] == (2 y)/Sin[c + b], 6/Cos[a] == Sqrt[x]/Sin[b], 2/Sin[a] == y/Sin[a + c] == Sqrt[x]/Sin[c], Pi/2 > a > 0, Pi/2 > b > 0, Pi/2 > c > 0, x > 0}, {a, b, c, x, y}]// FullSimplify

{{a -> 2 ArcTan[1/13 (-33 + Sqrt[1258])], b -> 2 ArcTan[1/11 (-8 + Sqrt[185])], c -> 2 ArcCot[1/13 (4 + Sqrt[185])], x -> 136/5, y -> 2 Sqrt[37/5]}}