n^2=a^2+b^2-1

王守恩

a, b, c 是大于1的正整数。\(1=a^2+b^2-c^k\)   k 能跑遍所有自然数吗？谢谢！

王守恩

a, b, c 是大于1的正整数。\(1=a^2+b^2-c^k\)   k 能跑遍所有自然数吗？谢谢！

\(c^k=a^2+b^2-1\) ——k 能跑遍所有自然数！——这里取a是最小的。

\(w(1)=7,7^1=2^2+2^2-1\)
\(w(2)=7,7^2=5^2+5^2-1\)
\(w(3)=4,4^3=4^2+7^2-1\)
\(w(4)=8,8^4=31^2+56^2-1\)
\(w(5)=3,3^5=10^2+12^2-1\)
\(w(6)=2,2^6=4^2+7^2-1\)
\(w(7)=4,4^7=16^2+127^2-1\)
\(w(8)=3,3^8=39^2+71^2-1\)
\(w(9)=4,4^9=324^2+511^2-1\)
\(w(10)=2,2^{10}=8^2+31^2-1\)
\(w(11)=4,4^{11}=64^2+2407^2-1\)
\(w(12)=2,2^{12}=31^2+56^2-1\)
\(w(13)=3,3^{13}=82^2+1260^2-1\)
\(w(14)=2,2^{14}=16^2+127^2-1\)
\(w(15)=4,4^{15}=256^2+32767^2-1\)
\(w(16)=4,4^{16}=20449^2+62264^2-1\)

从w(17)开始就有规律了—— c = 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, ... ——通项公式还是没有。

{{a -> 512, b -> 131071}, {a -> 32, b -> 511}, {a -> 1024, b -> 524287}, {a -> 481, b -> 904}, {a -> 2048, b -> 2097151},
{a -> 64, b -> 2047}, {a -> 4096, b -> 8388607}, {a -> 511, b -> 4064}, {a -> 8192, b -> 33554431}, {a -> 128, b -> 8191},
{a -> 16384, b -> 134217727}, {a -> 7711, b -> 14456}, {a -> 32768, b -> 536870911}, {a -> 256, b -> 32767}, {a -> 65536, b -> 2147483647},
{a -> 20449, b -> 62264}, {a -> 131072, b -> 8589934591}, {a -> 512, b -> 131071}, {a -> 262144, b -> 34359738367}, {a -> 8191, b -> 262016}}

Table[First@Solve[{(3 - Cos[n*Pi])^n == a^2 + b^2 - 1, 1 < a ≤ b}, {a, b}, Integers], {n, 17, 36}]

a是这样一串数——{512, 32, 1024, 481, 2048, 64, 4096, 511, 8192, 128, 16384, 7711, 32768, 256, 65536, 20449, 131072, 512, 262144, 8191, 524288, 1024, 1048576, 130561, 2097152, 2048, 4194304, 1593569, 8388608,
4096, 16777216, 131071, 33554432, 8192, 67108864, 9395231, 134217728, 16384, 268435456, 33423871, 536870912, 32768, 1073741824, 2097151, 2147483648, 65536, 4294967296, 1438793759, 8589934592, 131072,

northwolves

王守恩 发表于 2025-12-23 18:52
a, b, c 是大于1的正整数。\(1=a^2+b^2-c^k\)   k 能跑遍所有自然数吗？谢谢！

$a^2+b^2=64^k+1,1<a<b$ 始终有解。

northwolves

$64^k+1=\left(2^{3 k+1}-1\right)^2+\left(2^{3 k}-2^{k+1}\right)^2$

笔误，修改为：

$64^k+1=\left(2^{2 k+1}-1\right)^2+\left(2^{3 k}-2^{k+1}\right)^2$

王守恩

没有"1"可以这样。

\(5^1=1^2+2^2\)
\(5^2=3^2+4^2\)
\(5^3=2^2+11^2\)
\(5^4=7^2+24^2\)
\(5^5=38^2+41^2\)
\(5^6=44^2+117^2\)
\(5^7=29^2+278^2\)
\(5^8=336^2+527^2\)
\(5^9=718^2+1199^2\)
\(5^{10}=237^2+3116^2\)
\(5^{11}=2642^2+6469^2\)
\(5^{12}=10296^2+11753^2\)
\(5^{13}=8839^2+33802^2\)
\(5^{14}=16124^2+76443^2\)
\(5^{15}=108691^2+136762^2\)

Table[Module[{z, a, b, c = 5}, z = (1 + 2*I)^k; a = Abs[Re[z]]; b = Abs[Im[z]]; If[a > 0 && b > 0 && a^2 + b^2 == 5^k, {a, b, k}, None]], {k, 20}]

王守恩

\(c^k=a^2+b^2+1\)   k 就不能跑遍所有自然数了！

王守恩

northwolves 发表于 2025-12-24 12:36
$64^k+1=\left(2^{3 k+1}-1\right)^2+\left(2^{3 k}-2^{k+1}\right)^2$

FullSimplify[(64^k + 1)/((2^(3 k) - 2^(k + 1))^2 + (2^(3 k + 1) - 1)^2)]
这个不行。后面2个又没嚼劲了。
FullSimplify[(64^k + 1)/((2^((3 k + 1)/2))^2 + (8^k - 1)^2)]
FullSimplify[(4^(2 k + 1) + 1)/((2^(k + 1))^2 + (2^(2 k + 1) - 1)^2)]

王守恩

northwolves 发表于 2025-12-22 17:09
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15}

先捡重要的说！n=数字串A, \(a^2+b^2\) 无解。n=数字串B, \(a^2+b^2-c^4\) 无解。如果你见过这样的资料,我们就丢了。——我是没见过这样的资料。

数字串A——{3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 66, 67, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 79, 83, 84, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 99}

数字串B——{6, 11, 14, 22, 27, 30, 38, 43, 46, 54, 59, 62, 70, 75, 78, 86, 91, 94, 102, 107, 110, 118, 123, 126, 134, 139, 142, 150, 155, 158, 166, 171, 174, 182, 187, 190, 198, 203, 206, 214, 219, 222, 230, 235, 238, 246, 251, 254}

王守恩

n=数字串A,\(a^2+b^2\)  无解。n=数字串B, \(a^2+b^2-c^4\) 无解。数字串B是数字串A的真子集。

数字串A——{3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 66, 67, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 79, 83, 84, 86, 87}——数字串A——就怎么也找不到通项公式！

数字串B——{6, 11, 14, 22, 27, 30, 38, 43, 46, 54, 59, 62, 70, 75, 78, 86, 91, 94, 102, 107, 110, 118, 123, 126, 134, 139, 142, 150, 155, 158, 166, 171, 174, 182, 187, 190, 198, 203, 206, 214, 219}——数字串B——可以有通项公式。

来个数字串C——如果有的话, 数字串C也应该是数字串A的真子集？

好玩！！但思路还是要清晰。——n=a^x+b^y-c^z——我们的目标是找无解！——还有,对 n=a^x+b^y-c^z

1, 之所以选n, 我觉得n有了,n^k自然就有了。

2, n=a^x+b^y-c^z 比 n=a^x+b^y-k(k是常数)还是要困难些。

3, n=a^x+b^y-c^z 比 n=a^x+b^y-c^z+d^w无解的可能更大。相对 n=a^x+b^y-c^z+d^w...越长越容易找到解。

northwolves

易知下面两个方程对于任意正整数n都有解：

$ n=a^1+b^2-c^3$

$ n=a^2+b^3-c^4$