這個圓與直線的交點在作什麼曲線運動？

Jack315

按 5# 的（直觉）假设，可以推导出小球在水平面上投影的运动方程。

参考 1# 的图，取大圆的圆心位于坐标原点；设小圆半径为 \(r\)，以角速度 \(\omega\) 作匀速圆周运动。
小圆的圆心坐标为 \([r\cos(\omega t+\varphi), r\sin(\omega t+\varphi)]\) 。其中：\(\varphi\) 为初始角度，\(t\) 为时间。

小圆的方程为：\([x(t)-r\cos(\omega t+\varphi)]^2+[y(t)-r\sin(\omega t+\varphi)]^2=r^2\)
与过原点的直线 \(y(t)=kx(t)\) 联立方程组，可求得解为：
\(x(t)=\frac{2r}{1+k^2}[cos(\omega t+\varphi)+k\sin(\omega t+\varphi)]\)

令 \(\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\)、\(\cos{\alpha}=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}\)，则有：
\(x(t)=\frac{2r}{\sqrt{1+k^2}}\sin(\omega t+\phi)\)
\(y(t)=k\frac{2r}{\sqrt{1+k^2}}\sin(\omega t+\phi)\)
其中：\(\phi=\varphi+\alpha\)

这个结果证实了 5# 的猜测：每个小球在水平面上的投影都是以时间 \(t\) 为自变量的简谐运动。

ejsoon

Jack315 发表于 2026-1-18 21:18
按 5# 的（直觉）假设，可以推导出小球在水平面上投影的运动方程。

参考 1# 的图，取大圆的圆心位于坐标原 ...

感謝你的解答！

ejsoon

我這個做動畫的方法可以做成任意多個小球，不知大家是否需要我增加幾個？