求两圆半径之比

surftan

如图，蓝色大半圆内有红色和绿色两个小半圆，它们的位置关系如图，M、N、K为切点，O、J、H为圆心。
S1、S2、S3分别为曲边三角形的面积，设红色半圆的半径为R，绿色的半径为r。当S1=S2+S3时，求R/r。

aimisiyou

图里琛？

nyy

aimisiyou 发表于 2026-3-20 22:12
图里琛？

等级低，估计上传不了！
我这么猜的

surftan

如图，蓝色大半圆内有红色和绿色两个小半圆，它们的位置关系如图，M、N、K为切点，O、J、H为圆心。

求半径的比值

S1、S2、S3分别为曲边三角形的面积，设红色半圆的半径为R，绿色的半径为r。当S1=S2+S3时，求R/r。

magicstrawberry

不保证S1=S2+S3，其他图形结构精确的情况下，如何尺规画出这个图？

wayne

以前的计算。只有截图，找不到代码了，先放出来

mathe

答案能这么简单？感觉应该有$\pi$在里面才对。

Jack315

如图所示：

以 O 为原点，AB 为 X 轴建立直角坐标系。
设蓝色半圆的半径为 R ，即 OA=OB=R 。蓝色半圆方程：\(x^2+y^2=R^2\) 。
M(s, 0) 为 AB 上一点 (-R < s < R)。则 J 点坐标为 J(s, r) ，其中 r 为红色半圆的半径。
红色半圆的方程为：\((x-s)^2+(y-r)^2=r^2\) 。
解两个半圆的方程组，可解得交点坐标 C、D，且 CD = 2r 。
由此可求得 \(r=\sqrt{(R^2-s^2) / 2}\) 。
即红色半圆的圆心在蓝色虚线曲线上：\(y=\sqrt{(R^2-x^2) / 2}\)，其中：\(-R<x<R\) 。

红色半圆圆心坐标：\(J(s, \sqrt{(R^2-s^2) / 2})\) ，半径：\(r_1=\sqrt{(R^2-s^2) / 2})\) ；
绿色半圆圆心坐标：\(H(t, \sqrt{(R^2-t^2) / 2})\) ，半径：\(r_2=\sqrt{(R^2-t^2) / 2})\) 。
\(JH=r_1+r_2\) ，可求得：\((s-t)^2=2\sqrt{(R^2-s^2)(R^2-t^2)}\) 。
这个图基本能画出来了。

至于求面积或许可以用积分的方法来计算，但相当繁琐。
不知道有没有简洁一些的方法，坐等高人出手。

wayne

wayne 发表于 2026-3-27 15:43
以前的计算。只有截图，找不到代码了，先放出来

1. Eliminate[{r1+r2==b,a^2==4r1 r2,a^4-4b^4+4a^2 R^2==0},{a,b}]//FullSimplify

复制代码

换一下变量,设最大的蓝色圆半径是$R$,红色圆半径是$r1$,绿色圆半径是$r2$, 可以得到关系 $(r1^2 + r2^2) (r1^2 + 4 r1 r2 + r2^2) = 4 R^2 r1 r2 $

mathe

各种长度的关系好算，不过这里面积相等的约束应该非常复杂，估计是一个关于反三角函数的超越方程