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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 难题征解 › 六次等幂和
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[求助] 六次等幂和

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northwolves
发表于 2026-4-14 16:00:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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对于六次等幂和 \(\D k_{min}^6=\sum_{i=1}^n{a_i^6} \),  其中 \(a_i\) 互不相等


\(n=87\) 时, \(k_{min}=147\) ：

\(147^6=108^6+96^6+95^6+93^6+92^6+90^6+89^6+88^6+87^6+86^6+84^6+81^6+80^6+79^6+78^6+76^6+75^6+74^6+73^6+72^6+70^6+69^6+68^6+67^6+66^6+65^6+64^6+63^6+62^6+61^6+60^6+59^6+58^6+57^6+56^6+55^6+54^6+53^6+52^6+51^6+50^6+48^6+46^6+45^6+44^6+43^6+42^6+41^6+40^6+39^6+38^6+37^6+36^6+35^6+34^6+33^6+32^6+31^6+30^6+29^6+28^6+27^6+26^6+25^6+24^6+23^6+22^6+21^6+20^6+19^6+18^6+17^6+15^6+14^6+13^6+12^6+11^6+10^6+9^6+8^6+7^6+6^6+5^6+4^6+3^6+2^6+1^6\)


\(n=89\) 时, \(k_{min}=150\) ：

\(150^6=110^6+101^6+97^6+95^6+93^6+91^6+89^6+88^6+87^6+86^6+85^6+83^6+82^6+81^6+79^6+78^6+77^6+76^6+74^6+73^6+72^6+71^6+70^6+69^6+68^6+67^6+66^6+65^6+64^6+63^6+62^6+61^6+60^6+59^6+58^6+57^6+56^6+55^6+54^6+53^6+52^6+51^6+50^6+49^6+48^6+47^6+46^6+45^6+44^6+43^6+42^6+41^6+40^6+38^6+37^6+36^6+35^6+34^6+33^6+32^6+31^6+30^6+29^6+27^6+26^6+25^6+24^6+23^6+22^6+21^6+20^6+19^6+18^6+17^6+16^6+15^6+14^6+13^6+11^6+10^6+9^6+8^6+7^6+6^6+5^6+4^6+3^6+2^6+1^6\)


现在的问题是：\(n=88\) 时, \(k_{min}=?\)

6次幂汇总数据
7次幂汇总数据
8次幂汇总数据
9次幂汇总数据

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mathe
n=87的最小性你怎么验证的？108里面去掉21个数的方案太多了。  发表于 2026-4-14 17:13
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 17:58:15 | 显示全部楼层
穷举的

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northwolves
k=147 未找到解  发表于 2026-4-14 18:11
northwolves
\[n=88,k_{min}\]很大可能介于147-150之间  发表于 2026-4-14 18:04
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 18:00:08 | 显示全部楼层
\[n=100,k_{min}=169:   169^6=123^6+114^6+108^6+105^6+104^6+102^6+100^6+99^6+98^6+96^6+93^6+92^6+91^6+90^6+89^6+88^6+87^6+86^6+85^6+84^6+83^6+82^6+81^6+80^6+79^6+78^6+77^6+76^6+75^6+74^6+73^6+72^6+70^6+69^6+68^6+67^6+65^6+64^6+63^6+62^6+61^6+60^6+59^6+58^6+57^6+56^6+55^6+54^6+53^6+52^6+51^6+50^6+49^6+48^6+47^6+46^6+45^6+44^6+43^6+42^6+41^6+40^6+39^6+38^6+37^6+36^6+35^6+34^6+33^6+32^6+31^6+30^6+29^6+28^6+27^6+26^6+25^6+23^6+22^6+21^6+20^6+19^6+18^6+17^6+16^6+15^6+14^6+13^6+12^6+11^6+10^6+9^6+8^6+7^6+6^6+5^6+4^6+3^6+2^6+1^6\]
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 18:03:02 | 显示全部楼层
A393280

NAME

Minimum k such that k^6 can be expressed as the sum of n distinct positive 6th powers.

DATA
1141, 251, 123, 54, 53, 46, 43, 42, 35, 25, 32, 37, 41, 48, 49, 49, 49, 48, 45, 47, 48, 52, 55, 55, 53, 50, 55, 59, 57, 65, 67, 63, 66, 65, 68, 67, 71, 73, 77, 79, 79, 81, 83, 81, 83, 85, 89, 90, 90, 93, 94, 94, 96, 100, 121, 104, 104, 105, 103, 105, 108, 111

OFFSET
7,1

LINKS
Zhining Yang, <a href="/A393280/b393280_1.txt">Table of n, a(n) for n = 7..87</a>

Eric Weisstein's World of Mathematics, <a href="https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation6thPowers.html">Diophantine Equation--6th Powers</a>.

EXAMPLE
a(7) = 1141 because 1141^6 = 1077^6 + 894^6 + 702^6 + 474^6 + 402^6 + 234^6 + 74^6 and no integer smaller than 1141 can be expressed as the sum of 7 distinct positive 6th powers.

a(9) = 123 because 123^6 = 112^6 + 106^6 + 62^6 + 46^6 + 40^6 + 22^6 + 8^6 + 5^6 + 4^6 and no integer smaller than 123 can be expressed as the sum of 9 distinct positive 6th powers.

MATHEMATICA
a[n_]:=FirstCase[Range[n+1, 60], k_/; Length[Select[IntegerPartitions[k^6, {n}, Range[k-1]^6], DuplicateFreeQ]]>0]; a[12]

CROSSREFS
Cf. A130012, A130022, A018935, A252476, A252486, A261572, A394979.

对于 n<=100,目前只有n=88未搜到。
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 18:14:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2026-4-14 18:16 编辑

Find n such that n^r = sum of k distinct positive r-th powers  where k = 3-100.
------------------------------------------------------------------------------------------------
Enter the range of n (two integers, e.g. 1 20): 145 150
Enter the number of terms k (3-100): 88
Enter the number of power r (3,4,5,6,7,8,9,10,11): 6

Searching (k = 88) ...
Progress:  66%  [=================================>                ]  Checking n = 148
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mathe
发表于 2026-4-14 21:23:01 | 显示全部楼层
你的代码是怎么搜索的？ 不过6.1.7数值这么大，不知道wolfram上是怎么搜索出来的。
我试着写了个代码，现在运行18分钟，还有n=100,95,86,87,88,89,6,7,8没有找到结果。不过根据wolfram, 6应该是没有结果，而7估计我的代码找不到，8也有些困难。

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northwolves
效率也太高了，我计算到100，用了差不多48小时。  发表于 2026-4-14 22:31
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 22:21:04 | 显示全部楼层
7,8直接采用了Diophantine Equation--6th Powers的数据
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 22:22:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2026-4-14 22:24 编辑

$n=86, 145^6=106^6+105^6+98^6+91^6+90^6+87^6+86^6+85^6+84^6+81^6+80^6+78^6+77^6+76^6+75^6+74^6+72^6+71^6+70^6+69^6+68^6+67^6+66^6+65^6+64^6+63^6+62^6+61^6+60^6+59^6+58^6+57^6+56^6+55^6+54^6+52^6+51^6+50^6+49^6+48^6+46^6+45^6+44^6+43^6+42^6+41^6+40^6+39^6+38^6+37^6+36^6+35^6+34^6+33^6+32^6+31^6+30^6+29^6+28^6+27^6+26^6+25^6+24^6+23^6+22^6+21^6+20^6+19^6+18^6+17^6+16^6+15^6+14^6+13^6+12^6+11^6+10^6+9^6+8^6+7^6+6^6+5^6+4^6+3^6+2^6+1^6$

$n=95,160^6=115^6+106^6+104^6+101^6+99^6+96^6+95^6+94^6+93^6+92^6+90^6+89^6+88^6+86^6+85^6+83^6+82^6+81^6+80^6+79^6+78^6+77^6+76^6+75^6+74^6+73^6+72^6+71^6+70^6+69^6+68^6+67^6+66^6+65^6+64^6+63^6+62^6+61^6+60^6+59^6+58^6+57^6+56^6+55^6+54^6+53^6+52^6+51^6+50^6+49^6+48^6+47^6+46^6+45^6+44^6+43^6+42^6+41^6+40^6+39^6+38^6+37^6+36^6+35^6+34^6+33^6+32^6+31^6+30^6+29^6+28^6+27^6+25^6+24^6+23^6+22^6+21^6+20^6+19^6+18^6+17^6+16^6+15^6+14^6+13^6+12^6+11^6+10^6+9^6+6^6+5^6+4^6+3^6+2^6+1^6$
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 22:23:40 | 显示全部楼层
$n=100, 169^6=123^6+114^6+108^6+105^6+104^6+102^6+100^6+99^6+98^6+96^6+93^6+92^6+91^6+90^6+89^6+88^6+87^6+86^6+85^6+84^6+83^6+82^6+81^6+80^6+79^6+78^6+77^6+76^6+75^6+74^6+73^6+72^6+70^6+69^6+68^6+67^6+65^6+64^6+63^6+62^6+61^6+60^6+59^6+58^6+57^6+56^6+55^6+54^6+53^6+52^6+51^6+50^6+49^6+48^6+47^6+46^6+45^6+44^6+43^6+42^6+41^6+40^6+39^6+38^6+37^6+36^6+35^6+34^6+33^6+32^6+31^6+30^6+29^6+28^6+27^6+26^6+25^6+23^6+22^6+21^6+20^6+19^6+18^6+17^6+16^6+15^6+14^6+13^6+12^6+11^6+10^6+9^6+8^6+7^6+6^6+5^6+4^6+3^6+2^6+1^6$

$n=101,171^6=126^6+117^6+108^6+106^6+105^6+102^6+100^6+99^6+98^6+96^6+95^6+93^6+92^6+91^6+90^6+89^6+88^6+87^6+86^6+85^6+84^6+83^6+82^6+81^6+80^6+78^6+77^6+76^6+75^6+74^6+73^6+72^6+71^6+70^6+69^6+68^6+67^6+66^6+65^6+64^6+63^6+62^6+60^6+59^6+58^6+57^6+56^6+55^6+54^6+53^6+52^6+51^6+50^6+49^6+48^6+47^6+45^6+44^6+43^6+42^6+41^6+40^6+39^6+38^6+37^6+36^6+35^6+34^6+33^6+32^6+31^6+30^6+29^6+28^6+27^6+26^6+25^6+24^6+23^6+22^6+21^6+20^6+19^6+18^6+17^6+16^6+15^6+14^6+13^6+12^6+11^6+10^6+9^6+8^6+7^6+6^6+5^6+4^6+3^6+2^6+1^6$
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northwolves
 楼主| 发表于 2026-4-14 22:29:49 | 显示全部楼层
同样的代码计算平方和容易很多，比如：
$n=150, 1069^2=155^2+153^2+150^2+149^2+147^2+146^2+145^2+144^2+143^2+142^2+141^2+140^2+139^2+137^2+136^2+135^2+134^2+133^2+132^2+131^2+130^2+129^2+128^2+127^2+126^2+125^2+124^2+123^2+122^2+121^2+120^2+119^2+118^2+117^2+116^2+115^2+114^2+113^2+112^2+111^2+110^2+109^2+108^2+107^2+106^2+105^2+104^2+103^2+102^2+101^2+100^2+99^2+98^2+97^2+96^2+95^2+94^2+93^2+92^2+91^2+90^2+89^2+88^2+87^2+86^2+85^2+84^2+83^2+82^2+81^2+80^2+79^2+78^2+77^2+76^2+75^2+74^2+73^2+72^2+71^2+70^2+69^2+68^2+67^2+66^2+65^2+64^2+63^2+62^2+61^2+60^2+59^2+58^2+57^2+56^2+55^2+54^2+53^2+52^2+51^2+50^2+49^2+48^2+47^2+46^2+45^2+44^2+43^2+42^2+41^2+40^2+39^2+38^2+37^2+36^2+35^2+34^2+33^2+32^2+31^2+30^2+29^2+28^2+27^2+26^2+25^2+24^2+23^2+22^2+21^2+20^2+19^2+18^2+17^2+16^2+15^2+14^2+13^2+12^2+11^2+10^2+9^2+8^2+7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2$
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