两道关于三角形的题

chyanog

1.一个三角形的内心到顶点的距离分别是3,4,5 。求该三角形的面积
2.锐角三角形ABC中，已知cos(A)=cos(a)*sin(b)，cos(B)=cos(b)*sin(c)，cos(C)=cos(c)*sin(a)，求tan(a)*tan(b)*tan(c)的值

wayne

我来尝尝鲜
第一题： 设内心为I，
1) 根据勾股定理：
$IA*sin(A/2) =IB*sin(B/2) =IC*sin(C/2) = r =60 k$  
2) 根据正弦定理：
${AB}/{sin({A+B}/2)} ={IA}/{sin(B/2)}={IB}/{sin(A/2)}={IA+IB}/{sin(A/2)+sin(B/2)}$
也即是：${IA*cos(A/2)+IB*cos(B/2)}/{cos(C/2)} ={IA*IB}/r$
同理：${IB*cos(B/2)+IC*cos(C/2)}/{cos(A/2)} ={IB*IC}/r$
${IC*cos(C/2)+IA*cos(A/2)}/{cos(B/2)} ={IC*IA}/r$

wayne

有点盘根错节，我偷了一个懒，设三个角的一半的余弦分别为x,y,z. 用Mathematica算，结果竟然是 六次方程的根：

1. RootReduce@Reduce[{s==(60k)(3x+4y+5z),x^2+(60k)^2/9==1,3x+ 4y==z/(5k),4 y+5 z==x/(3k),3 x+5 z==y/(4k)&&s>0&&k>0},{x,y,z,r},Reals]

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s=

1. Root[13168189440000 - 2384147880000 #1^2 - 76072087679 #1^4 + 207360000 #1^6 &, 4]

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= 19.887771343860909719

chyanog

根据三角形内角和等于Pi列方程求内切圆半径r, 然后6个直角三角形的面积加起来,结果一样

2. Solve[ArcSin[r/3] + ArcSin[r/4] + ArcSin[r/5] == Pi/2, r, Algebraics]
3. (Sqrt[3^2 - r^2] + Sqrt[4^2 - r^2] + Sqrt[5^2 - r^2])* r /. % // RootReduce

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wayne

第二题：

1. {x, y, z} = {Cos[a] Sin[b], Cos[b] Sin[c], Cos[c] Sin[a]};
2. {m, n} = {Cos[a] Cos[b] Cos[c], Sin[a] Sin[b] Sin[c]};
3. TrigReduce[x^2 + y^2 + z^2 + (m^2 + n^2)]

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1. TrigReduce[x y z - m n]

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需要再找一个x,y,z自身之间的关系，三角形里面应该有恒等式

chyanog

4# chyanog 通过这个方程看得出，Mathematica中的符号是分“阶级”的，比较下面代码的运行时间，不知道这算不算bug：

1. Solve[ArcSin[r/a] + ArcSin[r/b] + ArcSin[r/c] == Pi/2, r, Cubics -> False] // Timing
2. (*fast*)
3. Solve[ArcSin[r/x] + ArcSin[r/y] + ArcSin[r/z] == Pi/2, r, Cubics -> False] // Timing
4. (*very slow*)

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数学星空

对于（1）
相当于求解(设三角形ABC内心为$I,IA=x,IB=y,IC=z$,三角形三边长为$a,b,c$)

$bc(b+c-a)=(a+b+c)x^2$

$ca(c+a-b)=(a+b+c)y^2$

$ab(a+b-c)=(a+b+c)z^2$

上面关于变量a,b,c的代数方程
   
\(x^2a^8+(-3x^2y^2-2x^2z^2+y^2z^2)a^6+(3x^2y^4+4x^2y^2z^2+x^2z^4-3y^4z^2-2y^2z^4)a^4+(-x^2y^6-2x^2y^4z^2-x^2y^2z^4+3y^6z^2+y^2z^6)a^2-y^8z^2+2y^6z^4-y^4z^6=0\)

\(y^2b^8+(-3x^2y^2+x^2z^2-2y^2z^2)b^6+(3x^4y^2-3x^4z^2+4x^2y^2z^2-2x^2z^4+y^2z^4)b^4+(-x^6y^2+3x^6z^2-2x^4y^2z^2-x^2y^2z^4+x^2z^6)b^2-x^8z^2+2z^4x^6-x^4z^6=0\)

\(z^2c^8+(x^2y^2-2x^2z^2-3y^2z^2)c^6+(-2x^4y^2+x^4z^2-3x^2y^4+4x^2y^2z^2+3y^4z^2)c^4+(x^6y^2-x^4y^2z^2+3x^2y^6-2x^2y^4z^2-y^6z^2)c^2-y^8x^2+2x^4y^6-x^6y^4=0\)

面积$S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)),p=(a+b+c)/2$


对于（2）

$a=b=c=pi/4, A=B=C=pi/3, tan(a)*tan(b)*tan(c)=1$

chyanog

第二题用特殊值法比较简单，不用的话Mathematica也能算，其实也可以用数形结合，

1. Eliminate[{cosA == Cos[a] Sin[b], cosB == Cos[b] Sin[c], cosC == Cos[c] Sin[a],
   
2.    res == Tan[a] Tan[b] Tan[c]} /. (f : (Sin | Cos | Tan))[x_] ->  f@ArcCos@x, {a, b, c}]
   
3. 
   
4. Reduce[{cosA^2 res +  cosA cosB cosC (1 + res^2) == (1 - cosB^2 - cosC^2) res /.
   
5.    Thread[{cosA, cosB, cosC} -> Cos@{A, B, C}], A + B + C == Pi,
   
6.   0 < A < Pi/2, 0 < B < Pi/2, 0 < C < Pi/2}, res, {A, B, C}, Reals]

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Out:

cosA^2 res + cosA cosB cosC (1 + res^2) == (1 - cosB^2 - cosC^2) res

res == 1

zhouguang

chyanog 发表于 2013-6-23 18:23
4# chyanog
通过这个方程看得出，Mathematica中的符号是分“阶级”的，比较下面代码的运行时间，不知道 ...

感觉上是因为变量r和常量的排序导致的。变量r排在abc之后，而在xyz之前，使得Solve认为这是完全不同性质的式子，如果把第03行中的r变量变成zz，速度就快了。

zeus

第一问答案是 Sqrt(Root[13168189440000 - 2384147880000 #1 - 76072087679 #1^2 + 207360000 #1^3 &, 3])