老问题，0.9循环和1是否相等

gogdizzy

我看一些人通过乘以10来证明相等。但是不知道这是不是数学意义的严格相等。

我想问的是（省略号表示无穷多个9）：
1>  0.999999......是表示一个确定的数吗？它和1严格相等吗？
2>  0.999999......8是一个确定的数吗？它和1严格相等吗？

wayne

小数和分数是 数的两种表达形式。

小数在人们日常生活中使用，非常实用，但不具有理论计算上的可操作性，因为有很多数无法用小数详尽的表达出来。
分数在数学理论计算中使用，理论计算上虽然具有很强的可操作性，但不完备，因为有很多数都不是分数。

两种表达形式，是可以相互转化的。
能用分数表达的数字，都可以用小数详尽的表达出来。
能用小数表达的数字，也可以用分数准确的表达出来。


有了这些背景，我们就可以知道
1)  0.999999......是一个确定的数，是1的小数表达的一种形式，还可以是1.0000000000......
2)  0.999999......8 是不合法的循环小数的表达。因为循环小数是数字，而不是数列

gogdizzy

wayne 发表于 2013-7-23 14:21
小数和分数是 数的两种表达形式。

小数在人们日常生活中使用，非常实用，但不具有理论计算上的可操作性 ...

那你的意思是0.9999……是9/9的另一种表达方式，所以和1是完全相等的？
那第二问呢？后面带个8的呢？

wayne

gogdizzy 发表于 2013-7-23 14:38
那你的意思是0.9999……是9/9的另一种表达方式，所以和1是完全相等的？
那第二问呢？后面带个8的呢？

既然数字末尾是无限的9，君又何必带一个8来收尾 呢？


===
小数是为日常生活服务的，是实用主义派，
分数来自于生活，却高于生活，是理论派，学究派。


而我们都是学了很多，见识了很多高级抽象的数，比如无理数，复数，四元数。。。
却 倒退回去讨论这个0.9999999....的问题，于是就产生了0.99999....8这个怪胎。

gogdizzy

wayne 发表于 2013-7-23 14:44
既然数字末尾是无限的9，君又何必带一个8来收尾 呢？

主要是我没搞明白这个应该怎么理解。

0.9999…… = 1 - 0.000……1
0.9999……8 = 1 - 0.000……2

但是都作为无穷小，0.000……1和0.000……2是相等的吗？
可以写成0.000……1 = 0.000……2 = 0 吗？
这到底是不是严格相等啊？

wayne

gogdizzy 发表于 2013-7-23 14:52
主要是我没搞明白这个应该怎么理解。

0.9999…… = 1 - 0.000……1

嗯，这个解法是在捣浆糊，是错误的写法。

gogdizzy

wayne 发表于 2013-7-23 14:53
嗯，这个解法是在捣浆糊，是错误的写法。

就是说0.9999…… 不能写成 1 - 0.000……1的形式？

wayne

gogdizzy 发表于 2013-7-23 14:55
就是说0.9999…… 不能写成 1 - 0.000……1的形式？

是的。
0.999999..... 本身是循环小数，意思是9一直循环下去，永不终止。
====
给出这种解法的人，是在偷换概念，把循环小数当作数列来看待。
我们的确可以把 0.999999.....  看成是一个无穷数列，于是0.0000....1也是个数列。

两个无穷数列 0.000……1 和   0.000……2 的极限相等，但这两个数列不是同一个数列，另外，好像数列与数列之间没有 “=”这种操作符吧。

wayne

gogdizzy 发表于 2013-7-23 14:52
主要是我没搞明白这个应该怎么理解。

0.9999…… = 1 - 0.000……1

一句话： 请用你所掌握的所有数学知识确认一下：
0.000……1和0.000……2 在数学里面是一个什么概念？
1）是数吗
2）是数列吗
3）是表达式吗

gogdizzy

wayne 发表于 2013-7-23 15:33
一句话： 请用你所掌握的所有数学知识确认一下：
0.000……1和0.000……2 在数学里面是一个什么概念？
...

就是不太清楚这几个概念啊。

0.9999……既然称作无限循环小数，那应该是个数吧。

0.0000……1和0.9999……8这种，就不知道是不是一个数了。