投影的期望值

wayne

问题一)
        一个正方形 投影到 其所在平面内的 一条直线 上的线段长度的期望值 是多少？

问题二)
        一个立方体 投影到 某一平面内上的 面积的期望值 是多少？

gxqcn

对于第一个问题：
可以考虑从正方形中心向某个顶点引一条射线，
然后将该顶点绕中心逆时针从0°旋转到45°，
在旋转过程中，该顶点在射线上的投影与射线顶点间的线段长度即是正方形在该射线所在直线上投影长度的一半。

对于第二个问题，暂没有好的方案。

KeyTo9_Fans

假设正方形的边长是$1$，

那么问题$1$的期望值是：

$(\sqrt(2)*\int_0^{\pi/4}\cos(x)dx)/(pi/4)$

$=(\sqrt(2)*\sin(pi/4))/(\pi/4)$

$=\frac{4}{\pi}$

gxqcn

第二个问题，不知是否可以考虑“四元数”？

wayne

计算这8个点在平面上的投影点，然后 算出这些投影点构成的 凸多边形 的面积。
貌似适合于程序，却不适合于数学分析

creasson

wayne 发表于 2013-8-1 21:50
计算这8个点在平面上的投影点，然后 算出这些投影点构成的 凸多边形 的面积。
貌似适合于程序，却不适合于 ...

固定正方体的中心可以减少一个自由度，这样答案应为一个二重积分，与3L所给的几乎一样，只需考虑半对角线长在空间的旋转情况，即用经度纬度来表示，所需要做的，只是确定经度纬度变化的临界范围。

wayne

也可以给出这六个面的 方程(有区域约束)，然后做投影。
只是 这几个面的区域条件 很麻烦

creasson

没意思的题，即便只需考虑投影面积随经纬度变化，也需要分几种情况讨论才行，实体模型实验下，需要有足够的耐心一一找出各临界情况。

wayne

又被你说成没意思了。

mathe

关于正方体，我们知道任意一个平面图形在另外一个平面上投影面积只同其面积以及两个平面夹角有关系，也就是如果平面图形面积是S,而两个平面夹角为$\theta$那么投影面积为$S\cos(\theta)$
另外，正方体有六个面，投影到一个平面上正好每个点都重复投影一次，所以投影面积是六个面投影面积和的一半。而由于六个面相互之间都是对称关系。实际上正方体投影平均投影面积就是一个面平均投影面积的三倍。
现在我们查看空间中一个动单位正方形投影到一个固定平面上面积的期望值，正方形单位法向量必然在单位球面上均匀分布。而投影面积为正方形和固定平面夹角的余弦值的绝对值，也就是单位向量和固定平面法向量的余弦值绝对值。我们不妨设固定平面法向量为z轴，动单位正方行法向量为$(x,y,z)$其中$||(x,y,z)||=1$
于是结果就变成曲面$\int\int_{x^2+y^2+z^2=1}|z|dS$除以单位球的面积，这个转化为球坐标比较容易计算，相当于半球面重心的坐标