投影的期望值

mathe

发现上面积分直接通过几何意义计算也非常简单。实际上好像有一个定理是说球面上任意用两个距离相等（比如h)的平行平面割下的“环”面积是相等的：
实际上z到z+dz之间周长为$2*pi*sqrt(1-z^2)$,而由于任意方向法向同z轴夹角余弦值也为$sqrt(1-z^2)$,于是得出z到z+dz之间面积总是$2*pi*dz$
由此得出上面期望值非常简单，就是$|z|$的平均值，为1/2.于是整个单位正方体投影的平均面积为3/2

wayne

另外，正方体有六个面，投影到一个平面上正好每个点都重复投影一次，所以投影面积是六个面投影面积和的一半。而由于六个面相互之间都是对称关系。实际上正方体投影平均投影面积就是一个面平均投影面积的三倍。

这部分的转化简直神来之笔。

要是放在大学的时候，没准我也能做出来，
只是现在，脑袋都生锈了，

倪举鹏

我浪费了一天多时间，积分了立方体，正四面体，一般四面体，发现全部是表面积的四分之一。
突然一想球的投影面积不就是球表面积的四分之一嘛，才想到，必定任何凸立体的平均投影面积都是其表面积的四分之一。

证明方法很简单， mathe已经表述过了：任取凸体的一个表面面积元，其法向在空间是概率均布的，
因此它的平均投影面积是本身面积的二分之一，从而所有小面积元的平均投影总面积就是表面积的二分之一。
所以凸体的平均投影面积就是其表面积的四分之一。

hujunhua

任取凸体的一个表面面积元，其法向在空间是概率均布的，因此它的平均投影面积是本身面积的二分之一。

这一点可以从球体直接得证，不需要进行积分计算。在这个面积元的中心法线上任取一点作为定点，这个面积元在绕此定点转遍所有的空间方向后刚好构成一个球面。