投影的期望值

wayne

又被你说成没意思了。

mathe

关于正方体，我们知道任意一个平面图形在另外一个平面上投影面积只同其面积以及两个平面夹角有关系，也就是如果平面图形面积是S,而两个平面夹角为$\theta$那么投影面积为$S\cos(\theta)$
另外，正方体有六个面，投影到一个平面上正好每个点都重复投影一次，所以投影面积是六个面投影面积和的一半。而由于六个面相互之间都是对称关系。实际上正方体投影平均投影面积就是一个面平均投影面积的三倍。
现在我们查看空间中一个动单位正方形投影到一个固定平面上面积的期望值，正方形单位法向量必然在单位球面上均匀分布。而投影面积为正方形和固定平面夹角的余弦值的绝对值，也就是单位向量和固定平面法向量的余弦值绝对值。我们不妨设固定平面法向量为z轴，动单位正方行法向量为$(x,y,z)$其中$||(x,y,z)||=1$
于是结果就变成曲面$\int\int_{x^2+y^2+z^2=1}|z|dS$除以单位球的面积，这个转化为球坐标比较容易计算，相当于半球面重心的坐标

mathe

发现上面积分直接通过几何意义计算也非常简单。实际上好像有一个定理是说球面上任意用两个距离相等（比如h)的平行平面割下的“环”面积是相等的：
实际上z到z+dz之间周长为$2*pi*sqrt(1-z^2)$,而由于任意方向法向同z轴夹角余弦值也为$sqrt(1-z^2)$,于是得出z到z+dz之间面积总是$2*pi*dz$
由此得出上面期望值非常简单，就是$|z|$的平均值，为1/2.于是整个单位正方体投影的平均面积为3/2

wayne

另外，正方体有六个面，投影到一个平面上正好每个点都重复投影一次，所以投影面积是六个面投影面积和的一半。而由于六个面相互之间都是对称关系。实际上正方体投影平均投影面积就是一个面平均投影面积的三倍。

这部分的转化简直神来之笔。

要是放在大学的时候，没准我也能做出来，
只是现在，脑袋都生锈了，

倪举鹏

我浪费了一天多时间，积分了立方体，正四面体，一般四面体，发现全部是表面积的四分之一。
突然一想球的投影面积不就是球表面积的四分之一嘛，才想到，必定任何凸立体的平均投影面积都是其表面积的四分之一。

证明方法很简单， mathe已经表述过了：任取凸体的一个表面面积元，其法向在空间是概率均布的，
因此它的平均投影面积是本身面积的二分之一，从而所有小面积元的平均投影总面积就是表面积的二分之一。
所以凸体的平均投影面积就是其表面积的四分之一。

hujunhua

任取凸体的一个表面面积元，其法向在空间是概率均布的，因此它的平均投影面积是本身面积的二分之一。

这一点可以从球体直接得证，不需要进行积分计算。在这个面积元的中心法线上任取一点作为定点，这个面积元在绕此定点转遍所有的空间方向后刚好构成一个球面。