求证10^n+1为素数，n为大于等于3的正整数，其中n=0，1，2除外

gql4294967296 · 发表于 2013-9-25 21:49:00

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求证10^n+1为素数，n为大于等于3的正整数，其中n=0，1，2除外
是否只有2，11，101三个素数？

northwolves · 发表于 2013-9-25 23:09:33

中间偶数个零的肯定是11的倍数

northwolves · 发表于 2013-9-25 23:10:59

3<=n<=280，均为合数:

http://oeis.org/A003021/b003021.txt

云梦 · 发表于 2013-9-26 17:19:49

n<100000时没发现反例。

gql4294967296 · 发表于 2013-9-26 19:17:29

上面是广义形式费马数，已知的素数只有2，11，101三个，既然n<100000时没发现反例，能否证明10^n+1，n>100000时确实再也没有一个素数了，就是仅有开头三个素数2，11，101。万分感谢。

northwolves · 发表于 2013-9-26 22:00:55

n=2k+1时，10^n+1一定是11的倍数。
n=4k+2时，10^n+1=100^(2k+1)+1一定是101的倍数。
所以只考虑n=4k的情况即可

northwolves · 发表于 2013-9-26 22:32:05

10^16+1 =353*449*641*1409*69857
10^20+1 =73*137*1676321*5964848081
10^24+1 =17*5882353*9999999900000001
10^28+1 =73*137*7841*127522001020150503761
10^32+1 =19841*976193*6187457*834427406578561
10^36+1 =73*137*3169*98641*99990001*3199044596370769
10^40+1 =17*5070721*5882353*19721061166646717498359681
10^44+1 =73*137*617*16205834846012967584927082656402106953
10^48+1 =97*353*449*641*1409*69857*206209*66554101249*75118313082913
10^52+1 =73*137*1580801*632527440202150745090622412245443923049201
10^56+1 =17*113*5882353*73765755896403138401*119968369144846370226083377

还是有规律的

云梦 · 发表于 2013-9-27 17:08:19

本帖最后由云梦于 2013-9-27 17:23 编辑

从楼上结果看，重点考察10^(4^n+1)+1，首因子比较大。

northwolves · 发表于 2013-9-27 22:40:25

由于
x^(2m+1) + 1 = (x+1)(x^(2m) - x^(2m - 1) + x^(2m - 2) - ... - x + 1)
所以
n=2k+1时，10^n+1一定是11的倍数。
n=4k+2时，10^n+1=100^(2k+1)+1一定是101的倍数。
所以只考虑n=4k的情况即可.
分两种情况：
n=2^m
n=(2k+1)*2^m
对于后者，10^n+1=10^((2k+1)*2^m)+1=(10^(2^m))^(2k+1)+1，有一个因子 10^(2^m)+1
所以只需分析n=2^m时的情况。

northwolves · 发表于 2013-9-27 22:45:51

10^4+1=73·137
10^8+1=17·5882353
10^16+1=353·449·641·1409·69857
10^32+1=19841·976193·6187457·834427406578561
10^64+1=1265011073·15343168188889137818369·515217525265213267447869906815873
10^128+1=257·15361·453377·*
10^256+1=10753·8253953·9524994049·73171503617·1616596633·*
10^512+1=1514497·302078977·3611707318387778163302401·*
10^1024+1=1856104284667693057·315827195278624446663038977·1567629031101501414376301131777·*
10^2048+1=106907803649·3835256936681473·9027276203313319937·969220351349023606432543884535631873·*
10^4096+1=458924033·728157653661622273·50628372428722965086209·*
10^8192+1=3635898263938497962802538435084289·*
10^16384+1=？
10^32768+1=65537·5767169·*

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