求证10^n+1为素数，n为大于等于3的正整数，其中n=0，1，2除外

northwolves

10^4+1=73·137
10^8+1=17·5882353
10^16+1=353·449·641·1409·69857
10^32+1=19841·976193·6187457·834427406578561
10^64+1=1265011073·15343168188889137818369·515217525265213267447869906815873
10^128+1=257·15361·453377·*
10^256+1=10753·8253953·9524994049·73171503617·1616596633·*
10^512+1=1514497·302078977·3611707318387778163302401·*
10^1024+1=1856104284667693057·315827195278624446663038977·1567629031101501414376301131777·*
10^2048+1=106907803649·3835256936681473·9027276203313319937·969220351349023606432543884535631873·*
10^4096+1=458924033·728157653661622273·50628372428722965086209·*
10^8192+1=3635898263938497962802538435084289·*
10^16384+1=？
10^32768+1=65537·5767169·*

云梦

看来计算是无用的，必须用理论来证明！

云梦

P=10^(2^m(2n+1))：m=1，n=0时，p=101 (素数)

云梦

一般地：m>0,n>0时有：

云梦

所以只要考虑10^(2^m)+1即可。

云梦

10^(2^m)+1=p1p2p3....pn

p1<p2<p3......<pn

奇怪的是分解的因子没有相同的，每个因子只出现一次。

云梦

10^(2^m)+1的因子必然具有如下形式：

ki为奇数。

云梦

假设10^(2^m)+1=素数会怎样？

云梦

假设10^(2^m)+1=素数：
已知：16#楼公式 ki为奇数。
那么有10^(2^m)+1=2^(m+1)k+1
容易得出：
k=5^(2^m)2^(2^m-m-1)
当m=1时,2^m-m-1=0,k=5^(2^m)(奇数)
当m>1时,因为2^m-m-1>0，所以k=偶数
因此m>1时10^(2^m)+1必然有两个及以上的因子存在，故全为合数。

事实上10^n+1只有2,11,101三个素数。

云梦

更正：
10^(2^m)+1之因子至少有一个因子具有（2^(m+1)k0+1)形式,k0=奇数。