求证10^n+1为素数，n为大于等于3的正整数，其中n=0，1，2除外

云梦

看来计算是无用的，必须用理论来证明！

云梦

P=10^(2^m(2n+1))：m=1，n=0时，p=101 (素数)

云梦

一般地：m>0,n>0时有：

云梦

所以只要考虑10^(2^m)+1即可。

云梦

10^(2^m)+1=p1p2p3....pn

p1<p2<p3......<pn

奇怪的是分解的因子没有相同的，每个因子只出现一次。

云梦

10^(2^m)+1的因子必然具有如下形式：

ki为奇数。

云梦

假设10^(2^m)+1=素数会怎样？

云梦

假设10^(2^m)+1=素数：
已知：16#楼公式 ki为奇数。
那么有10^(2^m)+1=2^(m+1)k+1
容易得出：
k=5^(2^m)2^(2^m-m-1)
当m=1时,2^m-m-1=0,k=5^(2^m)(奇数)
当m>1时,因为2^m-m-1>0，所以k=偶数
因此m>1时10^(2^m)+1必然有两个及以上的因子存在，故全为合数。

事实上10^n+1只有2,11,101三个素数。

云梦

更正：
10^(2^m)+1之因子至少有一个因子具有（2^(m+1)k0+1)形式,k0=奇数。

云梦

各因子均为素数，且每个因子只出现一次。