N边形外接与内切圆半径问题

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1.若\(N\)边形边长依次为\(a_1,a_2,...,a_n\)，且有外接圆,求外接圆的半径\(R_n\)?
2.若\(N\)边形边长依次为\(a_1,a_2,...,a_n\),且有内切圆,求内切圆的半径\(r_n\)?
3.若\(N\)边形边长依次为\(a_1,a_2,..,a_n\)既有外接圆（半径为\(R_n\)）又有内切圆（半径为\(r_n\))，进一步求解\(R_n\)与\(r_n\)(表达式相对1，2是否可以简化一些）

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东方论坛的hejoseph给出了N=5,6内切圆的公式：




具体见
http://bbs.cnool.net/cthread-6945381.html

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其实我们很容易得到

\(N\)边形有内切圆的条件为

\[\arctan\left(\frac{x_1}{r_n}\right)+\arctan\left(\frac{x_2}{r_n}\right)+\dots+\arctan\left(\frac{x_n}{r_n}\right)=\pi\]

其中\(x_1+x_2=a_1,x_2+x_3=a_2,...,x_n+x_1=a_n\)


\(N\) 边形有外接圆的条件为

\[\arcsin\left( \frac{a_1}{2R_n}\right)+\arcsin\left(\frac{a_2}{2R_n}\right)+\dots+\arcsin\left(\frac{a_n}{2R_n}\right)=\pi\]

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当\(N=5\)时，利用3#的结果可以得到（将方程两边取正切并展开可以得到）

\((u+v+x+y+z)r^4+(-uvx-uvy-uvz-uxy-uxz-uyz-vxy-vxz-vyz-xyz)r^2+xyzuv=0\) (求解方程即2#结果）

注：\(x=x_1,y=x_2,z=x_3,u=x_4,v=x_5\)

\((-b+a+c+d-e)(-b+a-c+d-e)(-b+a+c-d-e)(b+a-c+d-e)(-b+a+c-d+e)+(8a^3-8a^2b+8a^2c+8a^2d-8a^2e-8ab^2-16abd+8ac^2-16acd-16ace+8ad^2-8ae^2+8b^3-8b^2c+8b^2d+8b^2e-8bc^2-16bce+8bd^2-16bde+8be^2+8c^3-8c^2d+8c^2e-8cd^2+8ce^2+8d^3-8d^2e-8de^2+8e^3)r^2+(16a+16e+16c+16b+16d)r^4=0\)

注：\(a=a_1,b=a_2,c=a_3,d=a_4,e=a_5\)



当\(N=6\)时，利用3#的结果可以得到（将方程两边取正切并展开可以得到）

\((-z-w-y-x-v-u)r^4+(uvw+uvx+uvy+uvz+uwx+uwy+uwz+uxy+uxz+uyz+vwx+vwy+vwz+vxy+vxz+vyz+wxy+wxz+wyz+xyz)r^2 -uvzwx-uvzwy-vwxyz-xyzuv-uvwxy-uwxyz＝0\)  
(求解方程即2#结果）

注：\(x=x_1,y=x_2,z=x_3,u=x_4,v=x_5,w=x_6, x_1+x_2=a_1,x_2+x_2=a_2,...,x_6+x_1=g\)

\(2a^2bd^2-2a^3ce-3a^2b^2e+2a^2c^2d+3ab^3c-2ab^3d+ab^3e-ab^2d^2+abc^3+4a^3cd-a^2c^2e-6a^3bd+a^3de-9a^2b^2c+6a^2bc^2+6a^2b^2d-a^2cd^2-a^5-abcde-2x^3cb-2x^3cd+2x^3ce+2c^2dx^2-6x^2a^2e-2x^3be+2xc^3a+12xb^2a^2-4xb^3a+8xc^2a^2+2c^2bx^2-7c^2ax^2-6b^2ax^2+6a^2dx^2+12a^2bx^2-12a^2cx^2-12xa^3b+10xa^3c-6xa^3d+4xa^3e+2xa^2d^2-2x^3da-4x^3ab+6x^3ac+4x^3ae-8a^2bcd-2a^2bde+a^2cde+4ab^2cd-2ab^2ce+ab^2de-2abc^2d+abc^2e+abcd^2+4a^2bce-2xcdea+10xdcab-6xecab+2xadeb+4a^4b-3a^4c+2a^4d-a^4e-6a^3b^2-a^3d^2+4a^2b^3-a^2c^3-ab^4-3ab^2c^2+9a^3bc+3a^3be-3a^3c^2-x^4a-x^4c-x^4e+(-e-c-a)r^4-c^3x^2+2x^3c^2+4xa^4-6a^3x^2+4x^3a^2+(-2a^3+4a^2b-4a^2c+2a^2d-2a^2e+4a^2x-2ab^2+5abc-2abd+3abe-4abx-3ac^2+4acd-2ace+6acx-ad^2+ade-2adx+4aex-2ax^2-b^2c-b^2e+2bc^2-2bcd+2bce-2bcx-2bex-c^3+2c^2d-c^2e+2c^2x-cd^2+cde-2cdx+2cex-2cx^2-2ex^2)r^2+cdx^2e+x^2dae-6xdb^2a+7x^2bae-2xd^2ab-10xa^2dc-6x^2dab+6xa^2ce-8xc^2ab+13cabx^2-2cdbx^2-8xa^2be-2xa^2de-6x^2cae+2cbx^2e+12xa^2db-4xdc^2a+2xd^2ca+8dcax^2+2xec^2a+10xb^2ac+4xb^2ae-20xa^2bc-b^2x^2e-c^2x^2e-b^2cx^2-x^2d^2a-cd^2x^2=0\)

注：\(a=a_1,b=a_2,c=a_3,d=a_4,e=a_5,a+c+e=b+d+g\)



当\(N=7\)时，利用3#的结果可以得到（将方程两边取正切并展开可以得到）

\((-w-y-s-v-u-x-z)r^6+(suv+suw+sux+suy+suz+svw+svx+svy+svz+swx+swy+swz+sxy+sxz+syz+uvw+uvx+uvy+uvz+uwx+uwy+uwz+uxy+uxz+uyz+vwx+vwy+vwz+vxy+vxz+vyz+wxy+wxz+wyz+xyz)r^4+(-suvwx-suvwy-suvwz-suvxy-suvxz-suvyz-suwxy-suwxz-suwyz-suxyz-svwxy-svwxz-svwyz-svxyz-swxyz-uvwxy-uvwxz-uvwyz-uvxyz-uwxyz-vwxyz)r^2+suvwxyz=0\)

注：\(x=x_1,y=x_2,z=x_3,u=x_4,v=x_5,w=x_6,s=x_7, x_1+x_2=a_1,x_2+x_2=a_2,...,x_7+x_1=h\)

-(-b+a+c-d+e-g-h)*(b+a-c+d-e+g-h)*(-b+a+c-d+e-g+h)*(-b+a+c-d+e+g-h)*(-b+a+c-d-e+g-h)*(-b+a+c+d-e+g-h)*(-b+a-c+d-e+g-h)+(-12*a^5+36*a^4*b-28*a^4*c+4*a^4*d+4*a^4*e-28*a^4*g+36*a^4*h-24*a^3*b^2+48*a^3*b*c+16*a^3*b*d-16*a^3*b*e+80*a^3*b*g-80*a^3*b*h-24*a^3*c^2+16*a^3*c*d+16*a^3*c*e-48*a^3*c*g+80*a^3*c*h+8*a^3*d^2-16*a^3*d*e+16*a^3*d*g-16*a^3*d*h+8*a^3*e^2+16*a^3*e*g+16*a^3*e*h-24*a^3*g^2+48*a^3*g*h-24*a^3*h^2-24*a^2*b^3+24*a^2*b^2*c-72*a^2*b^2*d+24*a^2*b^2*e-72*a^2*b^2*g+24*a^2*b^2*h+24*a^2*b*c^2+16*a^2*b*c*d-16*a^2*b*c*e+80*a^2*b*c*g-80*a^2*b*c*h-40*a^2*b*d^2+48*a^2*b*d*e-16*a^2*b*d*g-16*a^2*b*d*h-8*a^2*b*e^2-48*a^2*b*e*g-16*a^2*b*e*h+56*a^2*b*g^2-80*a^2*b*g*h+24*a^2*b*h^2-24*a^2*c^3+56*a^2*c^2*d-8*a^2*c^2*e-8*a^2*c^2*g+56*a^2*c^2*h-40*a^2*c*d^2+16*a^2*c*d*e-16*a^2*c*d*g-48*a^2*c*d*h+24*a^2*c*e^2-16*a^2*c*e*g-16*a^2*c*e*h-8*a^2*c*g^2+80*a^2*c*g*h-72*a^2*c*h^2+8*a^2*d^3-8*a^2*d^2*e+24*a^2*d^2*g-8*a^2*d^2*h-8*a^2*d*e^2+16*a^2*d*e*g+48*a^2*d*e*h-8*a^2*d*g^2-16*a^2*d*g*h+24*a^2*d*h^2+8*a^2*e^3-40*a^2*e^2*g-40*a^2*e^2*h+56*a^2*e*g^2+16*a^2*e*g*h-72*a^2*e*h^2-24*a^2*g^3+24*a^2*g^2*h+24*a^2*g*h^2-24*a^2*h^3+36*a*b^4-80*a*b^3*c+80*a*b^3*d-16*a*b^3*e+16*a*b^3*g+48*a*b^3*h+24*a*b^2*c^2-80*a*b^2*c*d-16*a*b^2*c*e-16*a*b^2*c*g-80*a*b^2*c*h+56*a*b^2*d^2-48*a*b^2*d*e-16*a*b^2*d*g+80*a*b^2*d*h-8*a*b^2*e^2+48*a*b^2*e*g-16*a*b^2*e*h-40*a*b^2*g^2+16*a*b^2*g*h+24*a*b^2*h^2+48*a*b*c^3-80*a*b*c^2*d+80*a*b*c^2*e-16*a*b*c^2*g+16*a*b*c^2*h+16*a*b*c*d^2-32*a*b*c*d*e+32*a*b*c*d*g-32*a*b*c*d*h+16*a*b*c*e^2-32*a*b*c*e*g+32*a*b*c*e*h+16*a*b*c*g^2-32*a*b*c*g*h+16*a*b*c*h^2+16*a*b*d^3-48*a*b*d^2*e-16*a*b*d^2*g+16*a*b*d^2*h+48*a*b*d*e^2-32*a*b*d*e*g-32*a*b*d*e*h-16*a*b*d*g^2+32*a*b*d*g*h-16*a*b*d*h^2-16*a*b*e^3+48*a*b*e^2*g+16*a*b*e^2*h-48*a*b*e*g^2-32*a*b*e*g*h+80*a*b*e*h^2+16*a*b*g^3+16*a*b*g^2*h-80*a*b*g*h^2+48*a*b*h^3-28*a*c^4+80*a*c^3*d-48*a*c^3*e+16*a*c^3*g+16*a*c^3*h-72*a*c^2*d^2+80*a*c^2*d*e-16*a*c^2*d*g-48*a*c^2*d*h-8*a*c^2*e^2-16*a*c^2*e*g-16*a*c^2*e*h+24*a*c^2*g^2+16*a*c^2*g*h-40*a*c^2*h^2+16*a*c*d^3-16*a*c*d^2*e-16*a*c*d^2*g+48*a*c*d^2*h-16*a*c*d*e^2+32*a*c*d*e*g-32*a*c*d*e*h-16*a*c*d*g^2-32*a*c*d*g*h+48*a*c*d*h^2+16*a*c*e^3-16*a*c*e^2*g-16*a*c*e^2*h-16*a*c*e*g^2+32*a*c*e*g*h-16*a*c*e*h^2+16*a*c*g^3-16*a*c*g^2*h-16*a*c*g*h^2+16*a*c*h^3+4*a*d^4-16*a*d^3*e+16*a*d^3*g-16*a*d^3*h+24*a*d^2*e^2-16*a*d^2*e*g+48*a*d^2*e*h-8*a*d^2*g^2+16*a*d^2*g*h-8*a*d^2*h^2-16*a*d*e^3-16*a*d*e^2*g-48*a*d*e^2*h+80*a*d*e*g^2-32*a*d*e*g*h-48*a*d*e*h^2-48*a*d*g^3+80*a*d*g^2*h-16*a*d*g*h^2-16*a*d*h^3+4*a*e^4+16*a*e^3*g+16*a*e^3*h-72*a*e^2*g^2+16*a*e^2*g*h+56*a*e^2*h^2+80*a*e*g^3-80*a*e*g^2*h-80*a*e*g*h^2+80*a*e*h^3-28*a*g^4+48*a*g^3*h+24*a*g^2*h^2-80*a*g*h^3+36*a*h^4-12*b^5+36*b^4*c-28*b^4*d+4*b^4*e+4*b^4*g-28*b^4*h-24*b^3*c^2+48*b^3*c*d+16*b^3*c*e-16*b^3*c*g+80*b^3*c*h-24*b^3*d^2+16*b^3*d*e+16*b^3*d*g-48*b^3*d*h+8*b^3*e^2-16*b^3*e*g+16*b^3*e*h+8*b^3*g^2+16*b^3*g*h-24*b^3*h^2-24*b^2*c^3+24*b^2*c^2*d-72*b^2*c^2*e+24*b^2*c^2*g-72*b^2*c^2*h+24*b^2*c*d^2+16*b^2*c*d*e-16*b^2*c*d*g+80*b^2*c*d*h-40*b^2*c*e^2+48*b^2*c*e*g-16*b^2*c*e*h-8*b^2*c*g^2-48*b^2*c*g*h+56*b^2*c*h^2-24*b^2*d^3+56*b^2*d^2*e-8*b^2*d^2*g-8*b^2*d^2*h-40*b^2*d*e^2+16*b^2*d*e*g-16*b^2*d*e*h+24*b^2*d*g^2-16*b^2*d*g*h-8*b^2*d*h^2+8*b^2*e^3-8*b^2*e^2*g+24*b^2*e^2*h-8*b^2*e*g^2+16*b^2*e*g*h-8*b^2*e*h^2+8*b^2*g^3-40*b^2*g^2*h+56*b^2*g*h^2-24*b^2*h^3+36*b*c^4-80*b*c^3*d+80*b*c^3*e-16*b*c^3*g+16*b*c^3*h+24*b*c^2*d^2-80*b*c^2*d*e-16*b*c^2*d*g-16*b*c^2*d*h+56*b*c^2*e^2-48*b*c^2*e*g-16*b*c^2*e*h-8*b*c^2*g^2+48*b*c^2*g*h-40*b*c^2*h^2+48*b*c*d^3-80*b*c*d^2*e+80*b*c*d^2*g-16*b*c*d^2*h+16*b*c*d*e^2-32*b*c*d*e*g+32*b*c*d*e*h+16*b*c*d*g^2-32*b*c*d*g*h+16*b*c*d*h^2+16*b*c*e^3-48*b*c*e^2*g-16*b*c*e^2*h+48*b*c*e*g^2-32*b*c*e*g*h-16*b*c*e*h^2-16*b*c*g^3+48*b*c*g^2*h-48*b*c*g*h^2+16*b*c*h^3-28*b*d^4+80*b*d^3*e-48*b*d^3*g+16*b*d^3*h-72*b*d^2*e^2+80*b*d^2*e*g-16*b*d^2*e*h-8*b*d^2*g^2-16*b*d^2*g*h+24*b*d^2*h^2+16*b*d*e^3-16*b*d*e^2*g-16*b*d*e^2*h-16*b*d*e*g^2+32*b*d*e*g*h-16*b*d*e*h^2+16*b*d*g^3-16*b*d*g^2*h-16*b*d*g*h^2+16*b*d*h^3+4*b*e^4-16*b*e^3*g+16*b*e^3*h+24*b*e^2*g^2-16*b*e^2*g*h-8*b*e^2*h^2-16*b*e*g^3-16*b*e*g^2*h+80*b*e*g*h^2-48*b*e*h^3+4*b*g^4+16*b*g^3*h-72*b*g^2*h^2+80*b*g*h^3-28*b*h^4-12*c^5+36*c^4*d-28*c^4*e+4*c^4*g+4*c^4*h-24*c^3*d^2+48*c^3*d*e+16*c^3*d*g-16*c^3*d*h-24*c^3*e^2+16*c^3*e*g+16*c^3*e*h+8*c^3*g^2-16*c^3*g*h+8*c^3*h^2-24*c^2*d^3+24*c^2*d^2*e-72*c^2*d^2*g+24*c^2*d^2*h+24*c^2*d*e^2+16*c^2*d*e*g-16*c^2*d*e*h-40*c^2*d*g^2+48*c^2*d*g*h-8*c^2*d*h^2-24*c^2*e^3+56*c^2*e^2*g-8*c^2*e^2*h-40*c^2*e*g^2+16*c^2*e*g*h+24*c^2*e*h^2+8*c^2*g^3-8*c^2*g^2*h-8*c^2*g*h^2+8*c^2*h^3+36*c*d^4-80*c*d^3*e+80*c*d^3*g-16*c*d^3*h+24*c*d^2*e^2-80*c*d^2*e*g-16*c*d^2*e*h+56*c*d^2*g^2-48*c*d^2*g*h-8*c*d^2*h^2+48*c*d*e^3-80*c*d*e^2*g+80*c*d*e^2*h+16*c*d*e*g^2-32*c*d*e*g*h+16*c*d*e*h^2+16*c*d*g^3-48*c*d*g^2*h+48*c*d*g*h^2-16*c*d*h^3-28*c*e^4+80*c*e^3*g-48*c*e^3*h-72*c*e^2*g^2+80*c*e^2*g*h-8*c*e^2*h^2+16*c*e*g^3-16*c*e*g^2*h-16*c*e*g*h^2+16*c*e*h^3+4*c*g^4-16*c*g^3*h+24*c*g^2*h^2-16*c*g*h^3+4*c*h^4-12*d^5+36*d^4*e-28*d^4*g+4*d^4*h-24*d^3*e^2+48*d^3*e*g+16*d^3*e*h-24*d^3*g^2+16*d^3*g*h+8*d^3*h^2-24*d^2*e^3+24*d^2*e^2*g-72*d^2*e^2*h+24*d^2*e*g^2+16*d^2*e*g*h-40*d^2*e*h^2-24*d^2*g^3+56*d^2*g^2*h-40*d^2*g*h^2+8*d^2*h^3+36*d*e^4-80*d*e^3*g+80*d*e^3*h+24*d*e^2*g^2-80*d*e^2*g*h+56*d*e^2*h^2+48*d*e*g^3-80*d*e*g^2*h+16*d*e*g*h^2+16*d*e*h^3-28*d*g^4+80*d*g^3*h-72*d*g^2*h^2+16*d*g*h^3+4*d*h^4-12*e^5+36*e^4*g-28*e^4*h-24*e^3*g^2+48*e^3*g*h-24*e^3*h^2-24*e^2*g^3+24*e^2*g^2*h+24*e^2*g*h^2-24*e^2*h^3+36*e*g^4-80*e*g^3*h+24*e*g^2*h^2+48*e*g*h^3-28*e*h^4-12*g^5+36*g^4*h-24*g^3*h^2-24*g^2*h^3+36*g*h^4-12*h^5)*r^2+(-48*a^3+48*a^2*b-80*a^2*c-16*a^2*d-16*a^2*e-80*a^2*g+48*a^2*h+48*a*b^2+32*a*b*c+96*a*b*d+32*a*b*e+96*a*b*g+32*a*b*h-80*a*c^2+96*a*c*d-32*a*c*e-32*a*c*g+96*a*c*h-16*a*d^2+32*a*d*e-32*a*d*g+32*a*d*h-16*a*e^2+96*a*e*g+96*a*e*h-80*a*g^2+32*a*g*h+48*a*h^2-48*b^3+48*b^2*c-80*b^2*d-16*b^2*e-16*b^2*g-80*b^2*h+48*b*c^2+32*b*c*d+96*b*c*e+32*b*c*g+96*b*c*h-80*b*d^2+96*b*d*e-32*b*d*g-32*b*d*h-16*b*e^2+32*b*e*g-32*b*e*h-16*b*g^2+96*b*g*h-80*b*h^2-48*c^3+48*c^2*d-80*c^2*e-16*c^2*g-16*c^2*h+48*c*d^2+32*c*d*e+96*c*d*g+32*c*d*h-80*c*e^2+96*c*e*g-32*c*e*h-16*c*g^2+32*c*g*h-16*c*h^2-48*d^3+48*d^2*e-80*d^2*g-16*d^2*h+48*d*e^2+32*d*e*g+96*d*e*h-80*d*g^2+96*d*g*h-16*d*h^2-48*e^3+48*e^2*g-80*e^2*h+48*e*g^2+32*e*g*h-80*e*h^2-48*g^3+48*g^2*h+48*g*h^2-48*h^3)*r^4+(-64*a-64*b-64*c-64*d-64*e-64*g-64*h)*r^6＝0


注：\(a=a_1,b=a_2,c=a_3,d=a_4,e=a_5,g=a_6,h=a_7\)

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对于\(N=4\)的外接圆半径，我们得到

\((-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2a^2d^2+8abcd-b^4+2b^2c^2+2b^2d^2-c^4+2c^2d^2-d^4)R^2-4a^3bcd-4a^2b^2c^2-4a^2b^2d^2-4a^2c^2d^2-4ab^3cd-4abc^3d-4abcd^3-4b^2c^2d^2=0\)

即\( -(-d+a+c+b)(-d+a-c-b)(d+a-c+b)(d+a+c-b)R^2-4(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)=0\)

若设\(a=x+y,b=y+z,c=z+u,d=u+x\),即存在内切圆则有

\(16(y+z)(y+x)(u+z)(u+x)R^2-(u^2+ux+uz+xy+2xz+y^2+yz)(ux+2uy+uz+xy+2xz+yz)(ux+2uy+uz+x^2+xy+yz+z^2)＝0\)

作代换\(p=\frac{a+b+c+d}{2}\),得到 \(R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\)

又\(a+c=b+d=x+y+z+u\),代入得到 \(R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{abcd}}\)

面积\(S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}=\sqrt{abcd}\)

根据三角形代换\(a=y+z,b=x+z,c=x+y\) 西藏 刘保乾(网名 xzlbq )曾做类比，即对四边形作代换\(a=y+z+u,b=x+z+u,c=x+y+u,d=x+y+z\),求出R的表达式

\((x+y+z+3u)(x+3y+z+u)(z+u+y+3x)(x+y+3z+u)R^2-(u^2+2ux+3uy+2uz+x^2+2xy+3xz+y^2+2yz+z^2)(u^2+2ux+2uy+3uz+x^2+3xy+2xz+y^2+2yz+z^2)(u^2+3ux+2uy+2uz+x^2+2xy+2xz+y^2+3yz+z^2)＝0\)

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楼上提到：根据三角形代换\(a=y+z,b=x+z,c=x+y\) 西藏 刘保乾(网名 xzlbq )曾做类比，即对四边形作代换\(a=y+z+u,b=x+z+u,c=x+y+u,d=x+y+z\),求出R的表达式

\((x+y+z+3u)(x+3y+z+u)(z+u+y+3x)(x+y+3z+u)r^2-(u^2+2ux+3uy+2uz+x^2+2xy+3xz+y^2+2yz+z^2)(u^2+2ux+2uy+3uz+x^2+3xy+2xz+y^2+2yz+z^2)(u^2+3ux+2uy+2uz+x^2+2xy+2xz+y^2+3yz+z^2)＝0\)

今天我找到了刘保乾得到结果：有兴趣的可以验证下面的结果是否正确（我表示怀疑）,此结论来自于《不等式研究（第二辑），P305》

http://www.amazon.cn/%E4%B8%8D%E ... cription/B007UUWCAO

\(S=\frac{9 \root 5 \of {2}}{5}\root 5 \of {((x+y+z+u)xyzu)^2}\)

\(R=\frac{\root 5 \of {4}}{5}\frac{\sqrt{(x+y+z)(x+y+u)(x+z+u)(y+z+u)}}{\root 5 \of {(x+y+z+u)xyzu}}\)

\(r=\frac{6 \root 5 \of {2}}{5} \root 5 \of {\frac{(xyzu)^2}{(x+y+z+u)^3}}\)

-------------------------------------------------------------------------
可以取特殊值：\(x=y=z=u=1\),则\(a=b=c=d=3\)(不妨设为正方形）

我们易得到\(S=9,r=\frac{3}{2},R=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

而代入刘保乾得到的公式

\(S=\frac{18}{5},R=\frac{9}{5},r=\frac{3}{5}\)

因此我怀疑上面是印刷错误，常数项的分母不是5而是2，但是R的表达式还是不对

\(S=\frac{9 \root 5 \of {2}}{2}\root 5 \of {((x+y+z+u)xyzu)^2}\)

\(R=\frac{\root 5 \of {4}}{2}\frac{\sqrt{(x+y+z)(x+y+u)(x+z+u)(y+z+u)}}{\root 5 \of {(x+y+z+u)xyzu}}\)

\(r=\frac{6 \root 5 \of {2}}{2} \root 5 \of {\frac{(xyzu)^2}{(x+y+z+u)^3}}\)

可能上面的表达式在几何上并不正确(文章中称为虚四边形，主要是应用于不等式的证明，或许只是一个代数表达式而已并不具备几何意义）。

zuijianqiugen

（1）五边及上的圆内接多边形一般不存在半径关于边长的根式解；
（2）圆外切多边形的半径关于“切边”的方程，参见《圆外切多边形的内半径方程》
  http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201232853444334/

zuijianqiugen

（1）五边及上的圆内接多边形的半径，一般不存在关于边长的根式解；
（2）求圆外切多边形的半径，搜索《圆外切多边形的内半径方程》

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楼上提到的‘圆外切多边形内半径公式’：(这个公式就是3#的正切展开式）

对于\(n=2k-1,2k\)时

\(V(n,1)r^{2k-2}-V(n,3)r^{2k-4}+V(n,5)r^{2k-6}-...+V(n,2k-1)=0\)

\(V(n,1)=\sum_{i=1}^{n}x_i\)

\(V(n,3)=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<i_3\leqslant n}^{}x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}\)

\(V(n,5)=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<i_3<i_4<i_5\leqslant n}^{}x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}x_{i_4}x_{i_5}\)

........

\(V(n,2k-1)=\prod_{}^{}x_1x_2x_3...x_n\)

至于五边及以上的圆内接多边形的半径，一般不存在关于边长的根式解？对于五边形的具体公式可见

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 59&fromuid=1455