N边形外接与内切圆半径问题

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-5-2 10:07
当\(n=7\)时

消元结果为：\(64x^4r^{12}( t^6x^2-2t^5x^2-t^4x^2-6t^4x+4t^3x^2+2t^3x-t^2x^2-4t^3+6t^2 ...

没想到“去根号”后还存在约分因子：(t-1)²。是我的判断失误。

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-5-1 21:47
根据楼上的简化思路，我将13#的结果按照楼上的结论重写一下：

当\(n=3\)时

不过，我觉得此公式的意义在于：解t的方程。将n=7的公式写成以下形式，更具有实用性、美观性和记忆性：
(t-1)²(t²-1)²=t(3t-1)(t²-1)(2r/R)+t³(2r/R)²

数学星空

关于双圆外切内接N边形问题的条件：

在 http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html   中已有完整的答案

为了满足我们对数学对称美的欲望，特将其转载如下：

分别记：

\(a = \frac{1}{R+d}, b =\frac{1}{R-d},c =\frac{1}{r}\)            

\(E_1 = -a^2+b^2+c^2;  E_2 = a^2-b^2+c^2;  E_3 = a^2+b^2-c^2\)

\( e_0 = a+b+c;   e_1 = -a+b+c ;  e_2 = a-b+c ;   e_3 = a+b-c\)

\(F_0 = E_1E_2+E_1E_3+E_2E_3 ;  F_1 = E_1E_2+E_1E_3-E_2E_3, ;  F_2 = E_1E_2-E_1E_3+E_2E_3 ;  F_3 = -E_1E_2+E_1E_3+E_2E_3\)

\(g_0 = 2abE_1E_2+2acE_1E_3+2bcE_2E_3+E_1E_2E_3 ;   g_1 = -2abE_1E_2-2acE_1E_3+2bcE_2E_3+E_1E_2E_3\)

\( g_2 = -2abE_1E_2+2acE_1E_3-2bcE_2E_3+E_1E_2E_3 ;  g_3 = 2abE_1E_2-2acE_1E_3-2bcE_2E_3+E_1E_2E_3\)




则：

当\(N=3\)时

\(a+b=c\)


当\(N=4\)时

\(a^2+b^2=c^2\)


当\(N=5\)时

\(2c(a+b+c)(a+b-c)+a^3+b^3+c^3=(a+b)(b+c)(a+c)\)


当\(N=6\)时

\(\frac{1}{E_1}+\frac{1}{E_2}=\frac{1}{E_3}\)


当\(N=7\)时

\(g_3=0\)


当\(N=8\)时

\(\frac{1}{E_1^2}+\frac{1}{E_2^2}=\frac{1}{E_3^2}\)


当\(N=9\)时

\(aF_2F_3+bF_2F_3=cF_1F_2\)




注：mathworld.wolfram.com 中\(N=5\)的答案有误：

\((a+b)(b+c)(a+c)-a^3-b^3-c^3＝0\)

\((a+b+c)^3-4(a^3+b^3+c^3)=0\)

\((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+4abc=0\)

有兴趣的可以代入 \({R=\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{5})},r=1,d=0}\) 检验上面的等式是否成立！

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-5-3 22:39
关于双圆外切内接N边形问题的条件：

在 http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html   中已有完 ...

此种形式虽然好看，但不实用。无法确定d应取哪个实根？

数学星空

关于双圆外切内接N边形问题的最简答案，下面网页给出了椭圆函数的表达形式：

http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

\(a = \frac{1}{R+d}, b =\frac{1}{R-d}, c =\frac{1}{r}\)

\(\lambda =\frac{1+2c^2(a^2-b^2)}{a^2(b^2-c^2)}\)

\(\omega =arccosh(\lambda)\)

\(k =\sqrt{1-e^{-2\omega}}\)

\(sc(\frac{K(k)}{n},k)=\frac{c\sqrt{-a^2+b^2}+b\sqrt{-a^2+c^2}}{a(b+c)}\)

数学星空

根据椭圆函数的定义有：

1. sc(z,k)=z+(-(1/6)*k^2+1/3)*z^3+((1/120)*k^4-(2/15)*k^2+2/15)*z^5+(-(1/5040)*k^6+(23/840)*k^4-(17/210)*k^2+17/315)*z^7+((1/362880)*k^8-(11/3240)*k^6+(191/7560)*k^4-(124/2835)*k^2+62/2835)*z^9+(-(1/39916800)*k^10+(791/2851200)*k^8-(469/89100)*k^6+(5701/311850)*k^4-(691/31185)*k^2+1382/155925)*z^11+O(z^12)

复制代码

1. K(k)=(1/2)*Pi+(1/8)*Pi*k^2+(9/128)*Pi*k^4+(25/512)*Pi*k^6+(1225/32768)*Pi*k^8+(3969/131072)*Pi*k^10+(53361/2097152)*Pi*k^12+(184041/8388608)*Pi*k^14+(41409225/2147483648)*Pi*k^16+(147744025/8589934592)*Pi*k^18+O(k^20)

复制代码

不知如何计算验证上面25＃的结论是否正确？