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[求助] 谁解释一下黎曼猜想

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发表于 2014-3-25 17:57:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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怎么都看不懂黎曼猜想那个零点的原理,谁解释一下那个等式,数学软件计算结果完全不对
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-6-12 13:25:30 | 显示全部楼层
泰勒级数在复变函数中非常重要,这是因为泰勒级数定义的函数在定义域内满足了任意阶可导这个性质。
一个泰勒级数\(f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\)的收敛半径为\(R=\bar{\lim_{n->+\infty}}\sqrt[n]{a_n}\),于是我们知道逐项求导以后的导函数\(f'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}na_nx^n\)有相同的收敛半径,这是因为\(\lim_{n->+\infty}\sqrt[n]{n}=1\),由此就可以得到泰勒级数定义的函数只要其收敛半径大于0,必然任意次可导而且在收敛半径内任意一个闭区间内绝对收敛,所以是解析函数。
最简单的例子就是函数\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)定义了解析函数$1/{1-x}$
而任意这样定义的一个解析函数可以通过解析延拓唯一确定不在收敛半径内区域的函数值。
比如我们已经知道\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)定义了函数$1/{1-x}$,其中$x=1$这个点是极点,我们可以选择一个离极点远一点的解析点$x=i/2$,那么就可以将$x=(x-i/2)+i/2$代入展开式,于是有
\(\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}(x-\frac i2+\frac i2)^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^nC_n^k(x-\frac i2)^k (\frac i2)^{n-k}\)
于是得出函数在$\frac i 2$处泰勒展开式,其收敛半径为$|1-\frac i 2|=\frac{\sqrt{5}}2$
\(\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^{+\infty}(x-\frac i2)^k\sum_{n=k}^{+\infty}C_n^k (\frac i2)^{n-k}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(x-\frac i2)^k}{(1-\frac i 2)^k}\)
显然得到的这个展开式定义了函数\(\frac1{1-x}\)在不同区域的值
如果我们一直将这种方法使用下去,就可以将解析函数在整个复平面所有解析点的泰勒展开式都求出来,这个就是解析延拓。
而黎曼函数\(\zeta(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^z}\)这个定义显然只有在\(Re(z)>1\)的时候有定义,但是在定义域内同样可以任意次逐项求导,而且对于任意$t>1$,在区域
\(Re(z)>t\)内都是绝对收敛的,可以知道它也是一个解析函数,于是必然可以解析延拓到更加大的范围。

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赞一个  发表于 2018-6-13 13:04
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发表于 2018-6-12 08:23:00 | 显示全部楼层
数论爱好者 发表于 2018-6-11 14:12
黎曼猜想是个坑,在其论文中弄了一个近似公式,他取的分母都是素数,并且是一减一加的,但素数分布是乱弹琴,三 ...


数学是非常高深的学科,看不懂很正常,要对它有敬畏之心。现代数学越来越复杂,即使专业数学家,通常也只是精通自己了解的部分,对其它分支不一定了解。
黎曼猜想属于解析数论这个数学分支,要看懂它,你首先至少得能够掌握复变函数。
比如我们知道函数\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n=\frac1{1-x}\),但是这个等式只在\(|x|<1\)时才成立。
但是由于函数\(\frac1{1-x}\)是一个解析函数,对于任意一个不等于1的复数x,函数都有定义,而且在定义域上可以任意次求导,导函数还是解析函数,复分析的理论可以告诉我们,级数\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)可以唯一确定这样的一个解析函数,所以我们就可以用\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)等价的表示解析函数\(\frac1{1-x}\),虽然看上去这个级数好像对于$x=2$没有定义,但是从解析函数的角度,它已经被唯一确定了,就是-1.
黎曼函数也是如此,虽然级数形式的定义只给定了$Re{z}>1$情况下这个函数的定义,但是由于它是解析函数,其部分性质必然会确定整个函数的性质。特别的,仅仅通过分析解析函数的所有零点和极点也可以几乎确定解析函数的全部性质(就相差一个全纯函数了),这也是为什么黎曼猜想如此有用。

点评

解析拓展,就好像全息照片,有了一小片就可以拓展到一大片。  发表于 2018-7-5 13:12
赞一个  发表于 2018-6-13 13:04
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发表于 2014-3-26 12:10:10 | 显示全部楼层

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非平凡零点算是明白了,平凡零点-2,-4,-6……是怎么回事  发表于 2014-3-27 11:05
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发表于 2014-3-26 14:28:40 | 显示全部楼层
卢昌海的这个科普文章非常有名。不过要读懂黎曼猜想还是需要对复变函数有一定的了解才行的

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mathe知道为什么要那样解析延拓吗?那种解析延拓是唯一的吗?  发表于 2018-12-31 13:24
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发表于 2014-3-26 15:24:55 | 显示全部楼层
卢昌海的那本我有纸版,和其它的2本关于天文的都很经典经典。呵呵。
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发表于 2014-3-30 17:23:41 | 显示全部楼层
可以看看《素数之恋》。
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发表于 2018-6-8 08:46:16 | 显示全部楼层
用软件计算只是计算了一部分,所以不太准确.
素数之恋书本正文页码342页,软件打开的话,直接输入360页,有一个具体计算的实例,要这样计算才是黎曼猜想!
如果精确到正负1个,当数大到一定程度,比如10^20,这个计算将变得不可能,计算复杂度,所用时间长度都是不可想象了.
10^26,计算机算了3到5年时间,才搞清楚有几个素数,那么10^32,无论计算机如何先进,在我有生之年怕是看不到了,50年能算得玩吗?
黎曼猜想具体实例计算.gif
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发表于 2018-6-8 09:00:47 | 显示全部楼层
黎曼猜想,要算一个具体的数,不是只有一个零点,有很多个零点,它们位于二分之一这条线上,素数分布激烈震荡,导致这些成为零点的值有正有负,最后进行总体求和,才可以计算出来.即便你有大学水平,即便你知道怎么算,但给你一个数,你不见得就能把它算出来.
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发表于 2018-6-9 17:27:12 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2014-3-26 14:28
卢昌海的这个科普文章非常有名。不过要读懂黎曼猜想还是需要对复变函数有一定的了解才行的

虽然有名,但基本上是抄,好听点说是集三本英文同类科普的大成,其中两本应是素数之恋和黎曼博士的零点,包括那些所谓的小故事。

卢移民外国,英文较好,较早读到这些英文科普,当时国内介绍黎曼猜想的人也很少,遂成竖子之名,但其实他没有什么个人的创见。

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现在的卢昌海整一个靠写所谓“专业科普”为生的人罢了。  发表于 2018-6-9 17:29
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发表于 2018-6-9 17:41:18 | 显示全部楼层
请问版主:现在这个论坛不能上传图片了吗?我想传个100k的PNG都出错。
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