谁解释一下黎曼猜想

mathe

应该不会有问题

数论爱好者

黎曼猜想是个坑,在其论文中弄了一个近似公式,他取的分母都是素数,并且是一减一加的,但素数分布是乱弹琴,三分之一这一项,就根本无法确立其是加是减了,有些时候是加号,有些时候是减号,后面的许多项同样不能确立符号.但现实大数中,修正累加时,四分之一等偶数分母,奇合数分母都是可以取到的,为什么必须是素数分母?
在10^6时,《素数之恋》中342页中的那个实算例子,去掉三分之一,来得更快些.Li(10^6)-0.5*Li(10^6)^0.5+Li(10^6)^1/3,马上误差就小于10个.
在10^10时,你减二分之一这一项时,素数就算少了,你加上三分之一这一项,修正了一小点,这时取加号是对的.
但在10^19时,你减二分之一这一项时,素数就算多了,减不够,你必须再跟着减,这里三分之一这一项不能取加号.如果你再加上,越算误差也越大,偏离了我们的初衷.
黎曼猜想在忽悠人,到底是按复杂的虚数零点算,还是他那简单的对数积分算.二者是等价的吗?
黎曼猜想是以部分计算数据推到全部领域
但我们不能否定黎曼猜想,我们是研究偏了,他的重要的不是用于计算素数分布,而是他的零点分布,实部是1/2.

mathe

数论爱好者 发表于 2018-6-11 14:12
黎曼猜想是个坑,在其论文中弄了一个近似公式,他取的分母都是素数,并且是一减一加的,但素数分布是乱弹琴,三 ...

数学是非常高深的学科，看不懂很正常，要对它有敬畏之心。现代数学越来越复杂，即使专业数学家，通常也只是精通自己了解的部分，对其它分支不一定了解。
黎曼猜想属于解析数论这个数学分支，要看懂它，你首先至少得能够掌握复变函数。
比如我们知道函数\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n=\frac1{1-x}\),但是这个等式只在\(|x|<1\)时才成立。
但是由于函数\(\frac1{1-x}\)是一个解析函数，对于任意一个不等于1的复数x,函数都有定义，而且在定义域上可以任意次求导，导函数还是解析函数，复分析的理论可以告诉我们，级数\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)可以唯一确定这样的一个解析函数，所以我们就可以用\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)等价的表示解析函数\(\frac1{1-x}\)，虽然看上去这个级数好像对于$x=2$没有定义，但是从解析函数的角度，它已经被唯一确定了，就是-1.
黎曼函数也是如此，虽然级数形式的定义只给定了$Re{z}>1$情况下这个函数的定义，但是由于它是解析函数，其部分性质必然会确定整个函数的性质。特别的，仅仅通过分析解析函数的所有零点和极点也可以几乎确定解析函数的全部性质（就相差一个全纯函数了），这也是为什么黎曼猜想如此有用。

mathe

泰勒级数在复变函数中非常重要，这是因为泰勒级数定义的函数在定义域内满足了任意阶可导这个性质。
一个泰勒级数\(f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\)的收敛半径为\(R=\bar{\lim_{n->+\infty}}\sqrt[n]{a_n}\),于是我们知道逐项求导以后的导函数\(f'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}na_nx^n\)有相同的收敛半径，这是因为\(\lim_{n->+\infty}\sqrt[n]{n}=1\),由此就可以得到泰勒级数定义的函数只要其收敛半径大于0,必然任意次可导而且在收敛半径内任意一个闭区间内绝对收敛，所以是解析函数。
最简单的例子就是函数\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)定义了解析函数$1/{1-x}$
而任意这样定义的一个解析函数可以通过解析延拓唯一确定不在收敛半径内区域的函数值。
比如我们已经知道\(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\)定义了函数$1/{1-x}$，其中$x=1$这个点是极点，我们可以选择一个离极点远一点的解析点$x=i/2$,那么就可以将$x=(x-i/2)+i/2$代入展开式，于是有
\(\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}(x-\frac i2+\frac i2)^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^nC_n^k(x-\frac i2)^k (\frac i2)^{n-k}\)
于是得出函数在$\frac i 2$处泰勒展开式，其收敛半径为$|1-\frac i 2|=\frac{\sqrt{5}}2$
\(\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^{+\infty}(x-\frac i2)^k\sum_{n=k}^{+\infty}C_n^k (\frac i2)^{n-k}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(x-\frac i2)^k}{(1-\frac i 2)^k}\)
显然得到的这个展开式定义了函数\(\frac1{1-x}\)在不同区域的值
如果我们一直将这种方法使用下去，就可以将解析函数在整个复平面所有解析点的泰勒展开式都求出来，这个就是解析延拓。
而黎曼函数\(\zeta(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^z}\)这个定义显然只有在\(Re(z)>1\)的时候有定义，但是在定义域内同样可以任意次逐项求导，而且对于任意$t>1$,在区域
\(Re(z)>t\)内都是绝对收敛的，可以知道它也是一个解析函数，于是必然可以解析延拓到更加大的范围。

mathe

可以看一下科幻小说黎曼的猫，同时介绍了黎曼猜想和量子力学

数论爱好者

可以看一下
解析数论基础 潘承洞 潘承彪.pdf
下载地址:http://vdisk.weibo.com/s/uxGR88D-M3jOX
里面的部分课题我倒是感兴趣,只是可惜了,我水平有限,消化不良,无奈的摇摇头.啃得动的不妨去看看

mathematica

数论爱好者 发表于 2018-7-5 09:42
可以看一下
解析数论基础 潘承洞 潘承彪.pdf
下载地址:http://vdisk.weibo.com/s/uxGR88D-M3jOX

下载了解析数论基础，还是太难了
真的太难了，
还好没学数论，
估计我学的话，会和张益唐一样去送外卖洗盘子

lihpb00

2楼正解

nyy

mathe的解释我觉得不对，见
一个高中生让我理解了黎曼zeta函数（黎曼猜想）
https://bbs.emath.ac.cn/thread-17485-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)