二次对合变换群问题

wayne · 发表于 2014-4-23 18:06:23

mathe 发表于 2014-4-23 17:10
我把这个内容简单整理了一下，放在附件中，请大家一起审查一下。如果能够帮忙找一个具有大素数阶的群更加好 ...

据我所知，ms word 2007 及以后的版本都是自带有公式编辑器的， wps也自带有编辑器。不知道mathe的word是哪个星球的版本，

mathe · 发表于 2014-4-23 18:31:42

我也觉得应该有，可是选择 Insert/Object ,里面可用对象很少，没有数学公式编辑器，估计需要怎么更新一下才行

mathe · 发表于 2014-4-24 17:26:10

更新文档，用了数学公式编辑器

mathe · 发表于 2014-4-25 10:44:13

在二次对合变换的帖子里面，我们分析过反射点的概念。而这里给定参数a,b以后，如附件所说，这个变换群可以看出所有模p的数带上方向再加无穷远点后的集合上的置换，但是有可能置换到P阶域的扩域上。但是我们知道如果一个数的第一次变换在域里，那么任意多次都在域里，也就是整个轨道的数都在P阶域。反之，如果一次变换后跑到扩域，那么任意多次都在扩域，除了自身，也就是整个轨道只有一个数在域里。

mathe · 发表于 2014-4-25 10:50:08

另外除了0和无穷大，还有1/a和1/b都是无向的，也就是对应的轨道里两边的数相等。而且它们四个数所在轨道里的数都在域里面。另外容易看出每条轨道最多两个无方向的点。而且如果轨道里正好一个无向点，那么轨道长度为奇数，如果两个无向点，那么轨道长度为偶数。

mathe · 发表于 2014-4-25 10:55:09

所以如果某个群的阶是奇素数q，那么集合中至少有4q个点。在a!=b时集合有2p-2个点，得出q<=p-1。但是a=b时无向点1/a是两重的，情况不同。有

mathe · 发表于 2014-4-25 10:55:39

q<=(p-1)/2

mathe · 发表于 2014-4-25 15:48:13

最终分析结果非常可能它就是椭圆曲线群

mathe · 发表于 2014-4-25 19:44:38

更新附件，带上了群的阶的分析，根据分析结果，很可能同椭圆曲线上的群同构（至少元素数目相等）

mathe · 发表于 2014-4-26 07:34:32

应该通过变换X=1/(abx),Y=-\sqrt{ab}/x^2达到同构，不过还需要计算来检验一下。另外，在ab不是平方剩余时只能在扩展域上同构了，所以稍有不同

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