二次对合变换群问题

mathe

验证使用变换$X=1/{abx},Y=y/{x^2}$即可
新的附件添加了这部分内容。
由此，可以知道二次对合变换群同椭圆曲线群是同构的。
在我们分析过程中，总是将二次对合变换群的反射点变换到域里面，这导致对应椭圆曲线的右边总是可以分解的（也就是y=0对应三个解），如果反射点落在扩域，同样可以得到对应椭圆曲线y=0对应的点也必然在扩域里。所以两者是完全可以相互转化的。

mathe

前面我们已经将二次对合变换群对椭圆曲线$y^2=(a-1)(b-1)(ax-1)(bx-1)x$
我们可以做替换$Y=y/{x^2},X=1/x$,由此得出$Y^2=(a-1)(b-1)(X-a)(X-b)X$
对比圆的半径问题中特征方程，我们可以知道
如果特征值为$r_1,r_2,r_3$,那么$1-a={r_1}/{r_3},1-b={r_2}/{r_3}$,于是我们变换为$Y^2={(a-1)(b-1)}/{r_3^3}(r_3X-r_3+r_1)(r_3X-r_3+r_2)r_3X$
于是我们再做变换$x=r_3-r_3X,y=r_3^2Y$,得到$y^2=-r_1r_2r_3(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$
由此我们知道对应一般的二次对合变换，如果对应特征方程为f(x),那么变换群应该同椭圆曲线$y^2=-f(0)f(x)$对应的群同构

mathe

证明了结论，二阶对合变换群同椭圆曲线$y^2=f(0)f(x)$同构，而且参数x就是对应二次曲线系中的参数，0代表单位变换，无穷代表恒等变换

mathe

而现在关于双圆锥曲线分别内接和外切一个n边形的条件可以变为在这条椭圆曲线上点(0,f(0))的阶是n

mathe

另外根据椭圆曲线理论，在复数域自相加n次为无穷远点的点构成群Z_n*Z_n,所以对应的方程将会是约n^2.由于每个x对应两个y,关于x的方程次数还可以减半

hujunhua

建议参照“双线性变换”、“双线性方程”等名称，将二次对合变换称为“对称双二次变换”。

双线性方程的一般形式: \(a x y+b x+c y+d=0\),
名称的由来在于将\(x\)视为常量时它表现为\(y\)的线性方程，将\(y\)视为常量时它则表现为\(x\)的线性方程。
写成矩阵形式:\((x,1)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}=0\)

与此相仿，一般的双二次方程写成矩阵形式为\((x^2,x,1)\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y^2\\y\\1\end{pmatrix}=0\)                 （1）
将\(x\)视为常量时它表现为\(y\)的二次方程，将\(y\)视为常量时它则表现为\(x\)的二次方程，故称为双二次方程。
如果\(\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\)为对称矩阵，则为“对称双二次方程”。

给定的\(x=x_1\), 一般可解出2个\(y\),且记为\(y_1,y_2\). 给定\(y=y_2\),一般可解出2个\(x\), 其中一个已知是\(x_1\),另一个设为\(x_2\)吧。反复迭代，就得到一个交替链：
\(...,x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,...\)

(未完待续，不过所剩不多了，也许不用续了)

mathe

应该说对称双二次方程，这是从代数角度命名。而我是从几何角度。比如代数有线性变换，几何有仿射变换，代数有分式线性变换，几何有射影变换

mathe

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hujunhua

搜了一下“双二次方程”（biquadratic equation），发现已有命名，指无奇次项的一元四次方程：\(a x^4+b x^2+c=0\)
“双二次变换”（biquadratic transform）这个名称貌似没有发现太多应用。

“Poncelet transverse”与mathe的圆锥变换定义有交集。