双椭圆外切内接N边形问题

mathe

椭圆曲线的书上对于给定的点\((x,y)\)和参数\(A,B\)，

递归定义:

\(\psi(0)=0\)

\(\psi(1)=1\)

\(\psi(2)=2y\)

\(\psi(3)=3x^4+6Ax^2+12Bx-A^2\)

\(\psi(4)=4y(x^6+5Ax^4+20Bx^3-5A^2x^2-4ABx-8B^2-A^3)\)

\(\psi(2m+1)=\psi(m+2)\psi(m)^3-\psi(m-1)\psi(m+1)^3\)

\(\psi(2m)=\frac{\psi(m)(\psi(m+2)\psi(m-1)^2-\psi(m-2)\psi(m+1)^2)}{2y}\)

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然后定义:

\(\phi(m)=x \psi(m)^2-\psi(m+1)\psi(m-1)\)

\(\omega(m)=\frac{\psi(m+2)\psi(m-1)^2-\psi(m-2)\psi(m+1)^2}{4y}\)

mathe

最后点\((x,y)\)的\(n\)倍是\((\frac{\phi(n)}{\psi(n)^2},\frac{\omega(n)}{\psi(n)^3})\).而我们要求\(n\)倍是无穷大，也就是要求\(\psi(n)=0\)

mathe

其中 \(x=\frac{u_2}{3u_0}\) , \(y=\frac{1}{u_0}\)

mathe

比如:

\(n=3\)得出\(4u_0u_2=u_1^2\)

\(n=4\) 得出\(16u_1u_0u_2=32u_0^2+4u_1^3\)

mathe

而比如我最早标准化为双曲线的问题特征值为\(1，1-a,1-b\)展开\((x-1)(x-1+a)(x-1+b)\)就可得出\(u_0=-ab+a+b-1\)等，代入上面公式就可得出3#等价结果。

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-28 00:30
对于外切椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\),和内接于椭圆\(\frac{(x-x_0)^2}{m^2}+\frac{(y-y_0)^ ...

按mathe的说法，J经过射影变换和仿射变换后变成单位圆，K经过射影变换和仿射变换后变成同心椭圆：其椭圆长半轴=√(r₃/r₁)、短半轴=√(r₃/r₂)，这与(a/m)和(b/n)没有关系。

mathe

n从3到10是特征方程系数满足的方程如下： 3: 4*u0*u2 - u1^2 4: 4*u1*u0*u2 + (-8*u0^2 - u1^3) 5: -64*u0^3*u2^3 + 48*u1^2*u0^2*u2^2 + (128*u1*u0^3 - 12*u1^4*u0)*u2 + (-256*u0^4 - 32*u1^3*u0^2 + u1^6) 6: -512*u0^4*u2^4 + (3072*u1*u0^4 + 192*u1^4*u0^2)*u2^2 + (-4096*u0^5 - 1536*u1^3*u0^3 - 64*u1^6*u0)*u2     + (1024*u1^2*u0^4 + 192*u1^5*u0^2 + 6*u1^8) 7: -4096*u0^6*u2^6 + 6144*u1^2*u0^5*u2^5 + (8192*u1*u0^6 - 3840*u1^4*u0^4)*u2^4 + (-16384*u0^7 - 16384*u1^3*u0^5     + 1280*u1^6*u0^3)*u2^3 + (61440*u1^2*u0^6 + 9216*u1^5*u0^4 - 240*u1^8*u0^2)*u2^2 + (-98304*u1*u0^7 - 27648*u1^4*u0^5     - 2048*u1^7*u0^3 + 24*u1^10*u0)*u2 + (65536*u0^8 + 24576*u1^3*u0^6 + 3328*u1^6*u0^4 +160*u1^9*u0^2 - u1^12) 8: -131072*u1*u0^7*u2^7 + (262144*u0^8 + 163840*u1^3*u0^6)*u2^6 + (393216*u1^2*u0^7 - 73728*u1^5*u0^5)*u2^5 +     (-2359296*u1*u0^8 - 737280*u1^4*u0^6 + 10240*u1^7*u0^4)*u2^4 + (2097152*u0^9 + 2097152*u1^3*u0^7 + 409600*u1^6*u0^5     + 2560*u1^9*u0^3)*u2^3 + (-688128*u1^5*u0^6 - 107520*u1^8*u0^4 - 1152*u1^11*u0^2)*u2^2 + (-3145728*u1*u0^9 -     393216*u1^4*u0^7 + 98304*u1^7*u0^5 + 13824*u1^10*u0^3 + 160*u1^13*u0)*u2 + (2097152*u0^10 + 786432*u1^3*u0^8     + 65536*u1^6*u0^6 - 5120*u1^9*u0^4 - 704*u1^12*u0^2 - 8*u1^15) 9: 1048576*u0^10*u2^10 - 2621440*u1^2*u0^9*u2^9 + (-6291456*u1*u0^10 + 2949120*u1^4*u0^8)*u2^8 + (12582912*u0^11 +     10485760*u1^3*u0^9 - 1966080*u1^6*u0^7)*u2^7 + (3145728*u1^2*u0^10 - 9437184*u1^5*u0^8 + 860160*u1^8*u0^6)*u2^6 +    (-75497472*u1*u0^11 + 3932160*u1^4*u0^9 + 5898240*u1^7*u0^7 - 258048*u1^10*u0^5)*u2^5 + (67108864*u0^12 - 31457280*u1^3*u0^10     - 14745600*u1^6*u0^8 - 2539520*u1^9*u0^6+ 53760*u1^12*u0^4)*u2^4 + (251658240*u1^2*u0^11 + 78643200*u1^5*u0^9 +     9584640*u1^8*u0^7 + 712704*u1^11*u0^5 - 7680*u1^14*u0^3)*u2^3 + (-402653184*u1*u0^12 - 213909504*u1^4*u0^10 -     35389440*u1^7*u0^8 - 2715648*u1^10*u0^6 - 122880*u1^13*u0^4 + 720*u1^16*u0^2)*u2^2 + (201326592*u0^13 +     201326592*u1^3*u0^11 + 55574528*u1^6*u0^9 + 6389760*u1^9*u0^7 + 365568*u1^12*u0^5 + 11776*u1^15*u0^3 -     40*u1^18*u0)*u2 + (-50331648*u1^2*u0^12 - 25165824*u1^5*u0^10 - 4718592*u1^8*u0^8 - 417792*u1^11*u0^6 -     19200*u1^14*u0^4 - 480*u1^17*u0^2 + u1^20) 10:33554432*u0^12*u2^12 + (-603979776*u1*u0^12 - 104857600*u1^4*u0^10)*u2^10 + (805306368*u0^13 +     838860800*u1^3*u0^11 + 146800640*u1^6*u0^9)*u2^9 + (1811939328*u1^2*u0^12 - 188743680*u1^5*u0^10 -    100270080*u1^8*u0^8)*u2^8 + (-7516192768*u1*u0^13 - 5033164800*u1^4*u0^11 - 377487360*u1^7*u0^9 +     40894464*u1^10*u0^7)*u2^7 + (5368709120*u0^14 + 9663676416*u1^3*u0^12 + 4445962240*u1^6*u0^10 +     385351680*u1^9*u0^8 - 10321920*u1^12*u0^6)*u2^6 + (3221225472*u1^2*u0^13 - 3019898880*u1^5*u0^11 -     2044723200*u1^8*u0^9 - 181665792*u1^11*u0^7 + 1474560*u1^14*u0^5)*u2^5 + (-16106127360*u1*u0^14 -     17112760320*u1^4*u0^12 - 1174405120*u1^7*u0^10 + 545783808*u1^10*u0^8 + 51609600*u1^13*u0^6 -     53760*u1^16*u0^4)*u2^4 + (8589934592*u0^15 + 37580963840*u1^3*u0^13 + 13421772800*u1^6*u0^11 + 1069547520*u1^9*u0^9 -     84672512*u1^12*u0^7 - 9338880*u1^15*u0^5 - 20480*u1^18*u0^3)*u2^3 + (-38654705664*u1^2*u0^14 - 22145925120*u1^5*u0^12 -     4466933760*u1^8*u0^10 - 301989888*u1^11*u0^8 + 6881280*u1^14*u0^6 + 1059840*u1^17*u0^4 + 4032*u1^20*u0^2)*u2^2 +     (25769803776*u1*u0^15 + 17716740096*u1^4*u0^13 + 5033164800*u1^7*u0^11 + 692060160*u1^10*u0^9 + 39059456*u1^13*u0^7 -    184320*u1^16*u0^5 - 69120*u1^19*u0^3 - 320*u1^22*u0)*u2 + (-8589934592*u0^16 - 6442450944*u1^3*u0^14 -     2147483648*u1^6*u0^12- 398458880*u1^9*u0^10 - 41156608*u1^12*u0^8 - 1966080*u1^15*u0^6 - 5120*u1^18*u0^4 +     1984*u1^21*u0^2 + 10*u1^24)

mathe

其中假设特征方程为\(f(x)=x^3+u_2x^2+u_1x+u_0\)

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-4-27 21:42
为了便于讨论双椭圆的相关公式，我们先将N边形内接圆并外切于椭圆的相关讨论结果转载如下：

mathe 给出 ...

按mathe的说法，J经过射影变换和仿射变换后变成单位圆，K经过射影变换和仿射变换后变成同心椭圆：其椭圆长半轴=√(r3/r1)、短半轴=√(r3/r2)，这与K原方程的a、b没有关系。