定长悬链线的包络线

葡萄糖

图中在移动悬链线时有些震动，不便之处，敬请原谅

BeerRabbit

问题的背景是？

葡萄糖

BeerRabbit 发表于 2014-5-26 15:27
问题的背景是？

To:啤酒兔
题目：一条铁链两端点在同一高度，一端点固定，另一端点移动。稳定时，得到多组悬链线。定长悬链线的包络线为?

BeerRabbit

重复一遍问题≠解释问题的背景

wayne

设左端点坐标为原点\((0,0)\),右端点坐标为\((2d,0)\)，悬链线长度为\(2L\)，

则悬链线方程为 \(y=a \cosh(\frac{x-d}{a})-a \cosh(\frac{d}{a})\)，悬链线参数\(a\)的决定方程是 \(L=a \sinh(\frac{d}{a})\)，于是悬链线方程又可以写成： \(y=a \cosh(\frac{x-d}{a})-\sqrt{a^2+L^2}\)

接下来就是消元了，这个有点 小麻烦。
用了数学软件，无法消元得到 包络线的显式方程

BeerRabbit

wayne 发表于 2014-6-3 21:18
设左端点坐标为原点\((0,0)\),右端点坐标为\((2d,0)\)，悬链线长度为\(2L\)，

则悬链线方程为 \(y=a \cosh ...

我也是在消元的一步卡主了（超越方程消元真不是意见简单的事……），然后才过问LZ问题的背景。

hujunhua

在5楼的基础上进行归一化，可以得到含参数\(\theta\) 的悬链线方程\[\cosh(x\sinh\theta-\theta)-y\sinh\theta-\cosh\theta=0\]写成\[y=\frac{\cosh(x\sinh\theta-\theta)-\cosh\theta}{\sinh\theta}\]很方便几何画板绘图。

wayne

手机浏览好不方便。
归一化就是坐标单位化，老大在楼上的处理就相当于L是一个单位长度。
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几何画板可以画包络线吗

hujunhua

wayne 发表于 2014-6-5 13:30
手机浏览好不方便。
归一化就是坐标单位化，老大在楼上的处理就相当于a是一个单位长度。
_______________ ...

我用手机浏览本坛时不太方便，不显示点评、评分等内容，也不显示公式效果，看到的是公式代码。

kastin

`\,\alpha \mapsto  F(x,y,\alpha)=0`的包络线方程可以通过下面的方程组消去参数`\,\alpha`得到
$$\begin{cases}F(x,y,\alpha)=0  \\
\D \frac{\partial F(x,y,\alpha)}{\partial \alpha}=0
\end{cases}$$
不过悬链线方程中的悬点半距`d`和`a`又存在非线性关系，要想消去`d`也很难，因此可以推测包络线方程没有显式表达式，不知道是否可用参数方程来给出包络线方程。

因为能反求出`\;\D d=a\sinh\frac{L}{a}`，它是`a`的单值函数，因此可以用`a`替换`d`作为参数。这里`0\leqslant d \leqslant L`,根据数值分析可知，`a\gg d`.
于是，悬链线方程（采用5#的坐标系）可以改写为
$$y=\sqrt{a^2+L^2}\cosh \frac{x}{a}-L\sinh \frac{x}{a}-\sqrt{a^2+L^2}\tag{2}$$
对 `a` 偏导，并令隐函数等于零，得到 `x` 和 `a` 的非线性关系
$$(a^3+Lx\sqrt{a^2+L^2})\cosh\frac{x}{a}-x(a^2+L^2)\sinh\frac{x}{a}-a^3=0\tag{3}$$
`(2)`和`(3)`便是悬链线包络线方程，只要给定一个`a`，可用数值方法求出`(3)`中的`x`，然后`y`便可根据`(2)`得到。这样得到的坐标点`(x,y)`便是包络线上的点。