定长悬链线的包络线

wayne

根据 7#的归一化方程，我们可以得出 x和y分别关于参数的方程。 但这两个分别的参数方程都无法显式化，悲剧。

wayne

geogebra 是可以画出包络线的。但我目前还不会画悬链线，需要折腾一会
http://wiki.geogebra.org/en/Envelope_Command

kastin

使用数值求解非线性方程根的方法来绘制包络线
下面是Matlab代码

1. f=@(a,L)@(x)(a^3+L*x*sqrt(a^2+L^2)).*cosh(x/a)-x*(a^2+L^2).*sinh(x/a)-a^3;
   
2. xt=@(a)fsolve(f(a,1),a,optimset('Display','off'));  % 数值求根
   
3. yt=@(a,x)sqrt(a.^2+1^2).*cosh(x./a)-sinh(x./a)-sqrt(a.^2+1);
   
4. a=0.01:0.01:10;  % a的取值范围为0.01到10，L取作1进行归一化
   
5. x=arrayfun(xt,a);
   
6. y=yt(a,x);
   
7. plot(x,y)

复制代码

下面是结果图

包络线

注意，上图中左下角有一部分翘起了，这部分应该是沿着曲线下降到y=-1的，之所以看上去翘起来了，是因为a=0.01和a=0.02时候，非线性方程变得奇异，使得求出来的x与a一样大（其实这时候x应该很接近0，且要小于a），所以y值反而升高（正确的情形应该是接近-1），造成离散点连线“翘起”。

wayne

我用Mathematica画图的，FindRoot 数值求根的时候初始值 也是在a处取，效果都还不错，这点貌似把MATLAB的fsolve比过了。

wayne

1. (*数值求取包络线上的坐标点*)
   
2. L=1;
   
3. data=Quiet@Table[{a,t=x/.FindRoot[-a^3+(a^3+L Sqrt[a^2+L^2] x) Cosh[x/a]-(a^2+L^2) x Sinh[x/a]==0,{x,a}],- Sqrt[a^2+L^2]+ Sqrt[a^2+L^2] Cosh[t/a]-L Sinh[t/a]},{a,0,5,0.01}];
   
4. (*将数值解和悬链线曲线族画在一个坐标上*)
   
5. Quiet@Show[{ListPlot[Rest[data][[All,2;;3]],AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,2},{-1.05,0}},PlotStyle->Directive[Red,PointSize[0.02]]],Table[Plot[- Sqrt[a^2+L^2]+ Sqrt[a^2+L^2] Cosh[x/a]-L Sinh[x/a],{x,0,2}],{a,Quiet@Table[a/.FindRoot[a ArcSinh[L/a]==d,{a,d}],{d,0,2,.02}]}]}]

复制代码

楼上的图每一个悬链线我是按照a均匀取值画出来的，导致最终画出来的悬链线两端点宽度的变化不够均匀，这次就好了：

wayne

感觉代码可以再优化一下，既然前面进行了方程求根，后面绘图的时候可以不再重复求。  

@kastin 后面的FindRoot 是两码事情，是保证悬链线曲线族的端点宽度的变化的均匀性，你可以直接将
{a,Quiet@Table[a/.FindRoot[a ArcSinh[L/a]==d,{a,d}],{d,0,2,.02}]}
替换成 {a,0,2,.02}.

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对比一下这两幅图:
第一个是a均匀变化，第二个是d均匀变化(与 hujunhua 7#的几何画板画出来的直观感受很一致)。