无穷级数积分

kastin

刚在这里看到的题目 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=272&extra=page%3D3
\[\int_{0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}p_{k+1}}{k!}x^{k}}\right)\dif x}=2\]

这里的 \(p_k\) 表示第 \(k\) 个质数.

补充内容 (2014-7-4 20:40):
`p_1=3`

wayne

额，把素数都扯进来了。莫非要构造一个序列，运用夹逼原理算出来的？
===
tian275461 在本论坛有帐号。

wayne

\((n,2n)\)之间必定有一个素数，所以。。。

kastin

没有人能给出思路吗？
@wayne ，请 tian275461 出来帮忙解答吧^_^

mathe

等价于\(\D\lim_{x\to+\infty}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}p_k}{k!}x^{k}}\)其中$p_0=2$
不过我倾向于不成立。可以高精度数值计算一下比如x<100看看

mathe

数值计算表示这个函数应该发散。

mathe

1000位精度累计前1000项对于x<=100应该足够了，f(1)=0.70,f(10)=-3861,f(50)=6.07*10^20,f(100)=-1.03*10^43.这中间函数好像两零点，在(7,8)和(80,90)上

kastin

mathe 发表于 2014-7-5 06:17
1000位精度累计前1000项对于x

感觉这个积分值如果真的是2，那么被积函数的零点在实数轴上应该有无穷多个。

下面是定义被积函数取前1000项和的情况下，所找到的根
x->1.0467993320717315
x->6.348715347161431
x->12.495247689320653
x->86.32636394800208
x->142.40162526231944
x->178.24730445989113
x->338.83345422596426
x->588.5481175132286
x->801.5421339000719
x->884.6323537706518

随着项数n趋于无穷，得到的根的数目也会随之增加。

mathe

零点应该无穷个，而且振幅应该越来越大

282842712474

感觉这个积分如果真的成立的话，是太不可思议了。