无穷级数积分

zeus

Apply Ramanujan's  Master  Theorem

mathe

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%27s_master_theorem

mathe

不过本题中应该是错误使用，这个积分应该是不收敛的

mathe

一个极端的例子是选择$\Phi(x)=\cos(\pi x)$,代入可以得出$\exp(x)$从0到无穷的积分

kastin

联想到Gamma函数来自于对阶乘的定义域进行延拓到整个实数正半轴，同样我们可以认为存在一个定义域为实数正半轴的函数`P(x)`，在正整数点n处的函数值恰好就是第n个质数。如果存在这样的可微函数p(x)的话，那么就可以应用假设Ramanujan's Master Theorem.
根据http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html，令`n=1`，由于1楼题目中给出的定义是`p_1=3`，故`p_{k+1}=P_{k+2}`，故取`\phi(k)=P(k+2)`，所以$$\int_{0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\infty}{x^{1-1}\frac{(-1)^{k}P_{k+2}}{k!}x^{k}}\right)\dif x}=\Gamma(1)\phi(-1)=1\cdot P(2-1)=P(1)=2$$

mathe

感觉wiki和mathworld对定理成立条件的描述都不充分，首先我们显然需要函数的Mellin变换存在才行.其次对于函数$\Phi(x)$,我们总可以替换成$\Phi(x)+\sin(\pi x)$,这个导致逆变换后非整数点的取值不确定，所以必然只能特殊的$\Phi(x)$才行。这里感觉mathworld严格些，写成$\Phi(n)$