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楼主: 葡萄糖

[原创] 被排斥的带电铁链

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发表于 2014-6-2 15:12:48 | 显示全部楼层
如果忽略铁链自身的带电情况,那就好计算了

===
计算过程:

随机取 待求的铁链所在曲线上一点$P$,\((x,y)\)做分析,那么该点静电平衡:
1)切向方向,由 铁链在该点的张力,两个静电排斥力构成平衡。
2)法向仅有两个静电排斥力组成平衡。
切向上,有张力所以无法确定。但法向方向上,可以明确列出式子。
设两个电量很大的电荷 电量相等,所在的坐标分别是 \(Q_1 (-a,0),  Q_2 (a,0)\),被研究的点$P$坐标是\((x,y)\),曲线在该点处的切线倾角是$\theta$,
$PQ_1$的倾角是$\theta_1$,$PQ_2$的倾角是$\theta_2$,则
\[T_1\cos(\theta-\theta_1) = T_2\cos(\theta-\theta_2)\]
即 \[r_2^2\cos(\theta-\theta_1) = r_1^2\cos(\theta-\theta_2)\]
代入坐标得到微分方程:\[ \frac{dy}{dx} = y' =\tan \theta =\frac{a(r_1^3+r_2^3)}{y(r_1^3-r_2^3)} -\frac{x}{y}\]
\[ r_1^2=(x+a)^2+y^2\]
\[ r_2^2=(x-a)^2+y^2\]

这个,不大可能解出 解析解了。。。。

点评

我怎么一下就解出来了 铁链处处张力是不是相等  发表于 2014-6-2 17:28
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-2 19:03:23 | 显示全部楼层
8字方程一样,初值不一样而已,这方程只可以处理铁链长刚刚好达到平衡的情况,铁链中处处拉力相等。至于铁链长太长或者太短,中间拉力不相等的情况,就不是稳定情况,无数种形状,不用考虑了
QQ图片20140602185834.jpg
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发表于 2014-6-2 19:49:15 | 显示全部楼层
其实给定铁链长与两带电体之间的距离,就可以算稳定后的方程了,铁链长在某个范围里可以处处拉力相等,上面方程可以出图。铁链长不在范围里,比如铁链只圈一个带电体,另外一个带电体在圈外面,或圈着两个点了,但是铁链长很短。这些情况中间拉力不相等,方程会很复杂很难算……
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发表于 2014-6-5 09:06:58 | 显示全部楼层
还可以变分法求曲线的,就算链中拉力不等的情况。复合引力场里链的势能达到最小就是平衡状态
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发表于 2014-8-10 15:50:36 | 显示全部楼层
链条中张力(除了圆之外)不可能处处相等,对于两个固定电荷,变分法加数值计算,得到的扭结形是:
01.jpeg
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发表于 2014-8-10 17:24:41 | 显示全部楼层
类似椭圆的是这样子的(以上都假设两个电荷固定,电荷量相等,位于(1,0),(-1,0))处:
02.jpeg

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算算只有一个固定电荷,但是有重力存在,曲线是什么样的  发表于 2014-8-10 19:17
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-8-10 20:30:20 | 显示全部楼层
三个大小相等的同种电荷,固定在正三角形三个顶点上,忽略带电链条之间的自身相互作用,链条很长时,扭结状是:
03.jpeg

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可是,怎么看起来不大对劲?(⊙_⊙?)为什么曲线靠近红点处有凹?  发表于 2014-8-10 20:50

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发表于 2014-8-10 21:30:29 | 显示全部楼层
近似为电偶极子,应该有解析解。

本题应该是属于变分问题,利用椭圆坐标系,可以将被积函数变得尽可能简单,但是还是消除不了根号。

http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1350/
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/2050/

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发表于 2014-8-10 21:58:52 | 显示全部楼层
282842712474 发表于 2014-8-10 21:30
近似为电偶极子,应该有解析解。

本题应该是属于变分问题,利用椭圆坐标系,可以将被积函数变得尽可能简 ...

两个电荷可以用椭圆坐标,但还是没有解析解。三个或多个电荷,只能数值计算了
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发表于 2014-8-11 10:28:52 | 显示全部楼层
算算只有一个固定电荷,但是有重力存在,曲线是什么样的
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