被排斥的带电铁链

wayne

如果忽略铁链自身的带电情况，那就好计算了

===
计算过程：

随机取 待求的铁链所在曲线上一点$P$,\((x,y)\)做分析，那么该点静电平衡：
1）切向方向，由 铁链在该点的张力，两个静电排斥力构成平衡。
2）法向仅有两个静电排斥力组成平衡。
切向上，有张力所以无法确定。但法向方向上，可以明确列出式子。
设两个电量很大的电荷 电量相等，所在的坐标分别是 \(Q_1 (-a,0),  Q_2 (a,0)\)，被研究的点$P$坐标是\((x,y)\)，曲线在该点处的切线倾角是$\theta$,
$PQ_1$的倾角是$\theta_1$,$PQ_2$的倾角是$\theta_2$,则
\[T_1\cos(\theta-\theta_1) = T_2\cos(\theta-\theta_2)\]
即 \[r_2^2\cos(\theta-\theta_1) = r_1^2\cos(\theta-\theta_2)\]
代入坐标得到微分方程：\[ \frac{dy}{dx} = y' =\tan \theta =\frac{a(r_1^3+r_2^3)}{y(r_1^3-r_2^3)} -\frac{x}{y}\]
\[ r_1^2=(x+a)^2+y^2\]
\[ r_2^2=(x-a)^2+y^2\]

这个，不大可能解出 解析解了。。。。

倪举鹏

8字方程一样，初值不一样而已，这方程只可以处理铁链长刚刚好达到平衡的情况，铁链中处处拉力相等。至于铁链长太长或者太短，中间拉力不相等的情况，就不是稳定情况，无数种形状，不用考虑了

倪举鹏

其实给定铁链长与两带电体之间的距离，就可以算稳定后的方程了，铁链长在某个范围里可以处处拉力相等，上面方程可以出图。铁链长不在范围里，比如铁链只圈一个带电体，另外一个带电体在圈外面，或圈着两个点了，但是铁链长很短。这些情况中间拉力不相等，方程会很复杂很难算……

倪举鹏

还可以变分法求曲线的，就算链中拉力不等的情况。复合引力场里链的势能达到最小就是平衡状态

yinhow

链条中张力（除了圆之外）不可能处处相等，对于两个固定电荷，变分法加数值计算，得到的扭结形是：

yinhow

类似椭圆的是这样子的（以上都假设两个电荷固定，电荷量相等，位于（1,0），（-1,0））处：

yinhow

三个大小相等的同种电荷，固定在正三角形三个顶点上，忽略带电链条之间的自身相互作用，链条很长时，扭结状是：

282842712474

近似为电偶极子，应该有解析解。

本题应该是属于变分问题，利用椭圆坐标系，可以将被积函数变得尽可能简单，但是还是消除不了根号。

http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1350/
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/2050/

yinhow

282842712474 发表于 2014-8-10 21:30
近似为电偶极子，应该有解析解。

本题应该是属于变分问题，利用椭圆坐标系，可以将被积函数变得尽可能简 ...

两个电荷可以用椭圆坐标，但还是没有解析解。三个或多个电荷，只能数值计算了

倪举鹏

算算只有一个固定电荷，但是有重力存在，曲线是什么样的