复平面上,能够覆盖实系数方程的所有的根的圆的最小半径是?

cn8888

n次实系数代数方程\[x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n=0\]的n个根落在复平面上, 必有一个有限大的圆能够把所有的根都覆盖了，请问最小覆盖圆的半径是？？？

谁能提供这方面的资料呢？

cn8888

这个最小半径很显然是n个实系数的函数\(r(a_1,a_2,...,a_n)\),谁能提供呢？
一次方程，半径是0
二次方程是\(\dfrac{\sqrt{\abs{a_1^2-4 a_2}}}{2}\)
三次方程是？？？
四次方程是？？？

cn8888

哪位好人帮我编辑了帖子?
我应该感谢一下的,但是你不出来说一下,我这个好奇的人就不能停止的.

cn8888

上次也好像是谁帮我编辑了,我还以为从维基百科那边粘贴过来自动就转变好了呢, 这次肯定是有人帮我编辑了,然后我就怀疑上次了,
不知道哪位好人做的好事呢?

wayne

如果把方程的系数 和 根看成一个集合到集合的映射：
即 \[ f\colon\{a_1,a_2,\dots,a_n\} \mapsto \left\{ \text{roots of }  x^n+\sum_{i=1}^na_i x^{n-i} =0\right\}\]

那么该映射是一一映射，也是可逆映射，只不过元素本身也是个集合。

这里面还是蛮有意思的， 应该有不少成熟的结论，也应该能挖掘出一些有趣性质

cn8888

Properties of polynomial roots
http://en.wikipedia.org/wiki/Properties_of_polynomial_roots
这儿有些有用的性质,不过都是以原点为圆心的

cn8888

谁能找到比这边更小的半径呢?

mathe

我们先换一个更简单的问题:
平面上给定n个点，求包含这n个点的最小的圆，
上面这个问题我们通常都是去找一个比较有效的算法，而不是找一个公式。

对于本题，也应该类似。

kastin

首先，对于一般方程的n个根你是求不出公式形式。假设你得到n个根，转为复平面的n个点，那么问题转换为最小包围圆问题。这是计算几何中的经典问题，关于这个问题有很多算法，下面是一个代码
http://www.inf.ethz.ch/personal/gaertner/miniball.html

wayne

kastin 发表于 2014-6-6 21:30
首先，对于一般方程的n个根你是求不出公式形式。假设你得到n个根，转为复平面的n个点，那么问题转换为最小 ...

据链接提醒，搜到 CGAL库里的函数 Min_circle_2 就是干这个的，

1. #include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
   
2. #include <CGAL/Min_circle_2.h>
   
3. #include <CGAL/Min_circle_2_traits_2.h>
   
4. #include <iostream>
   
5. // typedefs
   
6. typedef  CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel K;
   
7. typedef  CGAL::Min_circle_2_traits_2<K>  Traits;
   
8. typedef  CGAL::Min_circle_2<Traits>      Min_circle;
   
9. typedef  K::Point_2                      Point;
   
10. int
    
11. main( int, char**)
    
12. {
    
13.     const int n = 100;
    
14.     Point P[n];
    
15.     for ( int i = 0; i < n; ++i)
    
16.     P[ i] = Point( (i%2 == 0 ? i : -i), 0);
    
17.     // (0,0), (-1,0), (2,0), (-3,0), ...
    
18.     Min_circle  mc1( P, P+n, false);    // very slow
    
19.     Min_circle  mc2( P, P+n, true);     // fast
    
20.     CGAL::set_pretty_mode( std::cout);
    
21.     std::cout << mc2;
    
22.     return 0;
    
23. }

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