微分方程解法纠错

dianyancao

如下微分方程的解法是错误的，在哪一步出现错误了？
\[\frac{\dif{y}}{\dif{x}}=\sqrt{x} \\
(\dif{y})^2=x(\dif{x})^2 \\
\int \dif y\int \dif y=\int \dif x\int x \space \dif x \\
\frac{y^2}{2}+c_1y+c_2=\frac{x^3}{6}+c_3x+c_4 \\
c_i \in \text{Constant}
\space \\
\space \\
\left\{\begin{split}
y&=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{3c_1^2-6c_2+6 c_3 x+6 c_4+x^3}-c_1 \\
y&=+\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{3c_1^2-6c_2+6 c_3 x+6 c_4+x^3}-c_1
\end{split}\right.
\]

wayne

第三步有误，转化成 二重积分的前提 是 两个自变量要分离。

282842712474

严格上来说，第二步就已经没有意义了。
要注意，我们所使用的积分，实际上都是定积分，而所谓的不定积分，其实是定积分的一个计算过程。
所以，第二步转化为二阶微分式，本也无可厚非，但是已经没有了定积分的意义。所以第三步是不成立的

kastin

第二步有问题，能够进行二重积分的式子应该是这样的$$\dif^2y=\dif(\dif y)=x(\dif x)^2$$
而如果是两边同时平方，1楼的第二行应该这么继续：$$(\dif y+x \dif x)(\dif y-x \dif x)=0$$
显然`(\dif y+x \dif x)`是曾根，舍去。

winner245

首先，从积分的数学性质看，对微分算子的平方乃至n次方是没有有意义的。不论是定积分还是不定积分，针对任意一个积分变量而言，该重积分都是一个线性运算（积分本身应该是线性运算），而某个变量微元平方后，就不再是线性运算了，不再符合积分的数学性质了。

其次，从定积分的物理意义看，不同变量的微元相乘具备实际的物理意义，而相同变量的微元相乘是没有物理意义的。比如：2个不同变量的微元乘积 \(\dif x\dif y\) 表示的是一个 “面积”，3个不同变量的微元乘积 \(\dif x\dif y\dif z\)  表示一个 “体积”， n 个不同变量的微元乘积 \(\dif x_1\dif x_2\cdots \dif x_n\)  表示 “超体积”。这些物理意义使得定积分本身具备了物理意义，即不同变量的微元的乘积就分别对应了2重积分，3重积分，乃至 n 重积分（如果只有一个1微元，那就是1重积分，对应的微元表示 “长度”）。

回到1L的式子里。如果只是对导数取平方是OK的，即：

\[\left(\frac{\dif{y}}{\dif{x}}\right)^2=x\]

但写成

\[\left(\frac{\dif{y}}{\dif{x}}\right)^2= \frac{(\dif y)^2}{(\dif x)^2}\]

或

\[(\dif{y})^2=x(\dif{x})^2\]

都是没有意义的。

dianyancao

如何用定积分形式表示下列的*式呢？
用导数的定义来变换这个方程，得：
\[
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\sqrt{x}+o(h)\space \space \space  (h \to 0^+) \\
(y(x+h)-y(x))^2=(\sqrt{x}+o(h))^2h^2
\]
上式产生增根，需验证其解是否满足原方程
上式两边对\(x\)求和，求和下限为\(0\)，上限为\(n\)，令\(n=\frac{1}{h}\),得：
\[
\sum_{x=0}^n{(y(x+h)-y(x))^2}=\sum_{x=0}^n{(\sqrt{x}+o(h))^2h^2}
\]
设\(y(x)\)连续可导，应用微分中值定理，得：
\[
\sum_{x=0}^{n}{(y'(x+\epsilon (x))h)^2}=\sum_{x=0}^{n}{(\sqrt{x}+o(h))^2 h^2} \space \space \space\color

{Red}{*} (|

\epsilon (x)|\leq|h|,n=\frac{1}{h}\to +\infty)
\]
验证\(y(x)=\frac{x^{1.5}}{1.5}\)是否是上面\(\color{Red}{*}\)式的解，得：
\[
y'(x)=\sqrt{x} \\
\sum_{x=0}^n{{(\sqrt{x+\epsilon (x)})}^2h^2}=\sum_{x=0}^n{{(\sqrt{x}+o(h))}^2h^2} \\
h^2\sum_{x=0}^n{x+\epsilon (x)}=h^2\sum_{x=0}^n{x+o(h)^2+2\sqrt{x}o(h)} \\
h^2\sum_{x=0}^n{\epsilon (x)-o(h)^2-2\sqrt{x}o(h)}=0
\]
由\(h\to 0^+,n=\frac{1}{h}\),取最大的\(|o(h)|\)为\(|oh|\),得：
\[
|h^2\sum_{x=0}^n{\epsilon (x)-o(h)^2-2\sqrt{x}o(h)}|\leq h^2\sum_{x=0}^n{|h|+|oh|^2+2|x||oh|} \\
=h^2(n+1)(|h|+|oh|^2+2|x||oh|) \\
=h^2(n+1)(|h|+|oh|^2+2|x||oh|) \\
=h^2(n+1)(|h|+|oh|^2+2|\frac{n(n+1)}{2}||oh|)
=h^2(\frac{1}{h}+1)(|h|+|oh|^2+2|\frac{\frac{1}{h}(\frac{1}{h}+1)}{2}||oh|) \to 0
\]
所以\(y=\frac{x^{1.5}}{1.5}\)是\(\color{Red}{*}\)式的解。

如何用定积分形式表示\(\color{Red}{*}\)式呢，如下的表达式是否正确？
\[\color{Red d}{
\int_0^1{\frac{y'(xn+\epsilon (xn))^2}{n} \dif x}=\int_0^1{\frac{{(\sqrt{xn}+o(\frac{1}{n}))}^2}{n}\dif x}

\space \space \space  \color{Red}{*} (n\to +\infty)
}\]

winner245

dianyancao 发表于 2014-6-24 15:41
如何用定积分形式表示下列的*式呢？
用导数的定义来变换这个方程，得：
\[

个人觉得你的做法依然不对的，有违定积分的定义，本质上和 1L 的错误是一样的。首先，你强行将微元平方得到 \((dx)^2\)， 又强行将 \((dx)^2\)拆分成 \(dx * dx = \frac{1}{n} * dx\)  (其中你规定 \(n = 1/dx\) ), 表面上看你只剩下一个 \(dx\), 于是你强行写成了 1 重积分的形式。

黎曼积分的定义不严格的表述为：给定 \(a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b \)，\(\Delta_i=x_i-x_{i-1}\) ，当黎曼可积时，有：

\[\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i \to \int_a^b f(x) dx\]

但并没有说到拆分微元的平方从而得到 ：
\[\sum_{i=1}^{n} f^2(t_i) \Delta_i^2 \to \int_a^b \frac{f^2(x)}{ 1/\Delta} dx ~~~~~~~~~~~~~~~ (\text{Suppose } \Delta_i = \Delta, ~ \forall i)\]

dianyancao

是的呢，两个微元是相关的，不能这样分离
如下的式子不是定积分，其计算结果有意义吗？
\[
\sum_{x=0}^{\frac{1}{h}}{(\sqrt{x}+o(h))^2 h^2}\to \frac{1}{2} \space \space \space (h\to0^+)
\]

dianyancao

如下这个式子：
\[
\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i\sum_{j=1}^{n} f(t_j)\Delta_j
\]
当\(\Delta_i\)与\(\Delta_j\)两个微元的分法是一样时，有：
\[\int_a^b\int_a^{b}f(x)^2\dif x\dif x=\int_a^{b} f(x)\dif x\int_a^{b} f(x)\dif x\]
若这两个微元的分法是不一样的，上式是否成立？

winner245

dianyancao 发表于 2014-6-25 23:38
如下这个式子：
\[
\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i\sum_{j=1}^{n} f(t_j)\Delta_j

如果黎曼可积的话：

\[\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i\sum_{j=1}^{n} f(t_j)\Delta_j = \left(\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i\right)^2\to \left(\int_a^{b} f(x)\dif x\right)^2\]

但

\[\left(\int_a^{b} f(x)\dif x\right)^2 \neq \int_a^b\int_a^{b}f(x)^2\dif x\dif x  ~~~ (\text{后式不满足积分意义})\]