一个简单的不定积分,Mathematica是怎么算的?

葡萄糖

\(\int{\sqrt{-x^2 + 2 x}\dif x}\)

1. f[x] := Sqrt[-x^2 + 2 x]
   
2. \[Integral]f[x] \[DifferentialD]x

复制代码

本应该是：

1. F2[x] := 1/2 ArcSin[x - 1] + 1/2 (x - 1) Sqrt[2 x - x^2]
   
2. FullSimplify[\!\(\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(x\)]\(F2[x]\)\)]

复制代码

\(\huge{\text{Why?}}\)

cn8888

虽然看不明白你的帖子的意思,但是我大概猜到你要表达的意思了
x的值是从0到2
而mathematica的积分结果有问题

cn8888

mathematica积分后的结果x可以大于2了,这确实是mathematica的一个bug

chyanog

Mathematica的结果没有问题啊，只是给出的结果不是你希望的形式罢了，不定积分又不是唯一的。。。

1. D[Integrate[Sqrt[-x^2 + 2 x], x], x] // Simplify

复制代码

Output：
Sqrt[-(-2 + x) x]

如果希望得到含arcsin的式子的话，可以尝试

1. Integrate[(x (2 - x))^p, x] /. p -> 1/2 // FullSimplify
   
2. D[%, x] // Simplify

复制代码

Out:
1/2 (-1+x) Sqrt[-(-2+x) x]+ArcSin[Sqrt[x]/Sqrt[2]]
Sqrt[-(-2+x) x]

或者

1. Integrate[Sqrt[- x^2+b x],x]/.b->2//FullSimplify

复制代码

Mathematica还有一个算不定积分的package叫做Rubi，可以直接得到含arcsin的式子

cn8888

被积函数的表达式Integrate[Sqrt[-x^2 + 2*x], x]的x的范围是0到2
mathematica的积分结果是
(Sqrt[-(-2 + x) x] (Sqrt[-2 + x] (-1 + x) Sqrt[x] -
   2 Log[2 (Sqrt[-2 + x] + Sqrt[x])]))/(2 Sqrt[-2 + x] Sqrt[x])
很显然这个积分结果中的x的范围>=2
所以积分结果错误

cn8888

这充分证明了机器永远是机器,机器永远不具有人的智能,机器只是按照人给他的程序在运算而已

Vespa

mathematica的答案并没有问题，因为asin本来定义域就可以不在[-1,  1] 上。。。
因为 : \(\arcsin (z) = -i \ln (i z\sqrt {1 - z^2})\)

补充：
\(\sin(a+bi)\)展开一下就可以得到\(\sin(a)cosh(b)+i\cos(a)\sinh(b)\)
\(\cos(a+bi) = \cos(a) \cosh(b) - i\sin(a) \sinh(b)\)
所以\(\cos i = \cos 0 \cosh 1 - i\sin 0 \sinh 1 = \cosh 1 = \frac{e^1+e^{-1}}{2} \approx 1.5431\)

cn8888

1/2 (-1 + x) Sqrt[-(-2 + x) x] + ArcSin[Sqrt[x]/Sqrt[2]]
这个积分结果还能让人感觉满意,但是
(Sqrt[-(-2 + x) x] (Sqrt[-2 + x] (-1 + x) Sqrt[x] -
   2 Log[2 (Sqrt[-2 + x] + Sqrt[x])]))/(2 Sqrt[-2 + x] Sqrt[x])
这个积分结果确实有问题

282842712474

cn8888 发表于 2014-6-28 14:58
这充分证明了机器永远是机器,机器永远不具有人的智能,机器只是按照人给他的程序在运算而已

反过来想，是其他东西永远不需要按照人类喜欢的那样发展。

这让我想到了中国人总是吹嘘中药的副作用比西药低，事实上，哪有一种植物是专门为人类所生长的...

cn8888

chyanog 发表于 2014-6-28 14:35
Mathematica的结果没有问题啊，只是给出的结果不是你希望的形式罢了，不定积分又不是唯一的。。。

Outpu ...

如何用mathematica得到Sin[Pi/17]的代数表达式?
我记得wayne曾经得到过