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[讨论] 一个简单的不定积分,Mathematica是怎么算的?

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发表于 2014-6-28 13:15:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
\(\int{\sqrt{-x^2 + 2 x}\dif x}\)
  1. f[x] := Sqrt[-x^2 + 2 x]
  2. \[Integral]f[x] \[DifferentialD]x
复制代码

本应该是:
  1. F2[x] := 1/2 ArcSin[x - 1] + 1/2 (x - 1) Sqrt[2 x - x^2]
  2. FullSimplify[\!\(\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(x\)]\(F2[x]\)\)]
复制代码

\(\huge{\text{Why?}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-28 14:21:57 | 显示全部楼层
虽然看不明白你的帖子的意思,但是我大概猜到你要表达的意思了
x的值是从0到2
而mathematica的积分结果有问题
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发表于 2014-6-28 14:27:14 | 显示全部楼层
mathematica积分后的结果x可以大于2了,这确实是mathematica的一个bug

点评

x为什么不能大于2呢?说是bug未免有些武断  发表于 2014-6-28 14:44
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发表于 2014-6-28 14:35:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2014-6-28 14:48 编辑

Mathematica的结果没有问题啊,只是给出的结果不是你希望的形式罢了,不定积分又不是唯一的。。。
  1. D[Integrate[Sqrt[-x^2 + 2 x], x], x] // Simplify
复制代码

Output:
Sqrt[-(-2 + x) x]

如果希望得到含arcsin的式子的话,可以尝试
  1. Integrate[(x (2 - x))^p, x] /. p -> 1/2 // FullSimplify
  2. D[%, x] // Simplify
复制代码

Out:
1/2 (-1+x) Sqrt[-(-2+x) x]+ArcSin[Sqrt[x]/Sqrt[2]]
Sqrt[-(-2+x) x]

或者
  1. Integrate[Sqrt[- x^2+b x],x]/.b->2//FullSimplify
复制代码


Mathematica还有一个算不定积分的package叫做Rubi,可以直接得到含arcsin的式子
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发表于 2014-6-28 14:57:07 | 显示全部楼层
被积函数的表达式Integrate[Sqrt[-x^2 + 2*x], x]的x的范围是0到2
mathematica的积分结果是
(Sqrt[-(-2 + x) x] (Sqrt[-2 + x] (-1 + x) Sqrt[x] -
   2 Log[2 (Sqrt[-2 + x] + Sqrt[x])]))/(2 Sqrt[-2 + x] Sqrt[x])
很显然这个积分结果中的x的范围>=2
所以积分结果错误

点评

这些都是\(\int{\sqrt{-x^2 + 2 x}dx}\)的结果:\[\frac{(x-1)\sqrt{x(x-2)}}{2}+\arctan\sqrt\frac{x}{2-x}\\\frac{(x-1)\sqrt{x(2-x)}+\arcsin(x-1)}{2}\]  发表于 2014-6-29 11:29
\[\frac{\sqrt{-x(x-2)}[(x-1)\sqrt{x(x-2)}-2 \ln(\sqrt{x-2}+\sqrt{x})]}{2\sqrt{x(x-2)}}\\\frac{i(x-1)\sqrt{x(x-2)}}{2}-i\ln(\sqrt{x-2}+\sqrt{x})\\\frac{(x-1)\sqrt{x(x-2)}}{2}+\arcsin\sqrt\frac{x}{2}\]  发表于 2014-6-29 11:14
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发表于 2014-6-28 14:58:51 | 显示全部楼层
这充分证明了机器永远是机器,机器永远不具有人的智能,机器只是按照人给他的程序在运算而已

点评

不是智慧的问题,是以智慧自居,蔑视机器  发表于 2014-6-28 15:46
你这句的意思难道不是蔑视机器而看高人类么?跟你下边的点评怎么完全相反了  发表于 2014-6-28 15:10
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发表于 2014-6-28 15:01:32 | 显示全部楼层
mathematica的答案并没有问题,因为asin本来定义域就可以不在[-1,  1] 上。。。
因为 : \(\arcsin (z) = -i \ln (i z\sqrt {1 - z^2})\)

补充:
\(\sin(a+bi)\)展开一下就可以得到\(\sin(a)cosh(b)+i\cos(a)\sinh(b)\)
\(\cos(a+bi) = \cos(a) \cosh(b) - i\sin(a) \sinh(b)\)
所以\(\cos i = \cos 0 \cosh 1 - i\sin 0 \sinh 1 = \cosh 1 = \frac{e^1+e^{-1}}{2} \approx 1.5431\)

点评

由以上,能否得出:\[\arcsin(z-1)+\frac{3}{2}(z - 1)\sqrt{z(2-z)}=\ln(\sqrt{z-2}+\sqrt z)\]  发表于 2014-6-28 20:16

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-6-28 15:02:12 | 显示全部楼层
1/2 (-1 + x) Sqrt[-(-2 + x) x] + ArcSin[Sqrt[x]/Sqrt[2]]
这个积分结果还能让人感觉满意,但是
(Sqrt[-(-2 + x) x] (Sqrt[-2 + x] (-1 + x) Sqrt[x] -
   2 Log[2 (Sqrt[-2 + x] + Sqrt[x])]))/(2 Sqrt[-2 + x] Sqrt[x])
这个积分结果确实有问题
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发表于 2014-6-28 15:06:24 | 显示全部楼层
cn8888 发表于 2014-6-28 14:58
这充分证明了机器永远是机器,机器永远不具有人的智能,机器只是按照人给他的程序在运算而已

反过来想,是其他东西永远不需要按照人类喜欢的那样发展。

这让我想到了中国人总是吹嘘中药的副作用比西药低,事实上,哪有一种植物是专门为人类所生长的...

点评

人类的智慧具有智能性与人喜欢以自我为中心是两回事呀  发表于 2014-6-28 15:14
我也觉得人类太过于自我中心主义了  发表于 2014-6-28 15:08
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发表于 2014-6-28 15:10:07 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2014-6-28 14:35
Mathematica的结果没有问题啊,只是给出的结果不是你希望的形式罢了,不定积分又不是唯一的。。。

Outpu ...

如何用mathematica得到Sin[Pi/17]的代数表达式?
我记得wayne曾经得到过
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