带上绳索的圆锥

葡萄糖

求绳索所形成的曲线

kastin

感觉是双纽线。

yinhow

圆锥摊平后是直线

wayne

yinhow 发表于 2014-6-30 22:29
圆锥摊平后是直线

好像是那么回事。
是直觉 还是 有什么依据？

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圆锥面的参数方程为
$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=kr$$
其线元为
$$ds^2=(k^2+1)dr^2+r^2 d\theta^2=dR^2+R^2 d\Theta^2$$
其中
$$R=r\sqrt{k^2+1},\quad \Theta=\frac{\theta}{\sqrt{k^2+1}}$$
极坐标下的直线方程为
$$R=A\sec\left(\Theta-B\right) $$
即
$$r=\frac{A}{\sqrt{k^2+1}}\sec\left(\frac{\Theta}{\sqrt{k^2+1}}-B\right)$$
于是空间曲线方程为
$$\begin{aligned}
x&=\frac{A}{\sqrt{k^2+1}}\sec\left(\frac{\Theta}{\sqrt{k^2+1}}-B\right)\cos\theta\\
y&=\frac{A}{\sqrt{k^2+1}}\sec\left(\frac{\Theta}{\sqrt{k^2+1}}-B\right)\sin\theta \\
z&=\frac{kA}{\sqrt{k^2+1}}\sec\left(\frac{\Theta}{\sqrt{k^2+1}}-B\right)
\end{aligned}$$
调整A，B使得首尾相接即可~

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最后可得
$$B=\frac{\pi}{\sqrt{k^2+1}}$$

即
$$\begin{aligned}
x&=\frac{A}{\sqrt{k^2+1}}\sec\left(\frac{\theta-\pi}{\sqrt{k^2+1}}\right)\cos\theta\\
y&=\frac{A}{\sqrt{k^2+1}}\sec\left(\frac{\theta-\pi}{\sqrt{k^2+1}}\right)\sin\theta \\
z&=\frac{kA}{\sqrt{k^2+1}}\sec\left(\frac{\theta-\pi}{\sqrt{k^2+1}}\right)
\end{aligned}$$

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不好意思，我上面的答案是错的。不是圆锥的测地线问题。它有点像我们用细绳系着一个饰物，然后把饰物挂在脖子上的情况。就是绳子长度一定，绳子会紧贴着悬挂物体的表面，最后是饰物的位置会尽可能地（势能最小）。我目前还没有解出方程来~

倪举鹏

绳长固定，受力点会尽量离顶点远。与受力点固定，绳长尽量短。是一个道理的。结果还是测地线。

yinhow

wayne 发表于 2014-6-30 22:45
好像是那么回事。
是直觉 还是 有什么依据？

原题隐含绳子是无质量的，绳子的“势能”等于张力（常数）乘长度。两端固定，长度最小的曲线就是测地线

yinhow

yinhow 发表于 2014-7-1 20:31
原题隐含绳子是无质量的，绳子的“势能”等于张力（常数）乘长度。两端固定，长度最小的曲线就是测地线

这个结果对于任何光滑曲面上紧贴的无质量绳子都成立